В прямоугольнике отношение сторон равно 3:4. Прямоугольник сначала вращают вокруг большей стороны, а затем вокруг меньшей. найдите отношение обьема первого образованного тела к объёму второго.
Чтобы решить эту задачу, давайте рассуждать шаг за шагом.
Пусть длины сторон прямоугольника равны \(3x\) и \(4x\), где \(x\) — произвольная единица измерения. Таким образом, большая сторона — \(4x\), а меньшая — \(3x\).
Когда прямоугольник вращают вокруг большей стороны (4x), то образуется цилиндр. Объем этого цилиндра \(V_1\) можно найти по формуле: \[ V_1 = \pi r^2 h \] где \(r\) — радиус (это половина меньшей стороны), а \(h\) — высота (это большая сторона). В нашем случае: \[ r = \frac{3x}{2}, \quad h = 4x \] Подставим эти значения в формулу объема: \[ V_1 = \pi \left(\frac{3x}{2}\right)^2 (4x) = \pi \cdot \frac{9x^2}{4} \cdot 4x = 9\pi x^3 \]
Когда прямоугольник вращают вокруг меньшей стороны (3x), образуется другой цилиндр. Объем этого цилиндра \(V_2\) также можно найти по аналогичной формуле: \[ V_2 = \pi r^2 h \] Здесь радиус будет равен половине большей стороны, а высота — меньшей стороне: \[ r = \frac{4x}{2} = 2x, \quad h = 3x \] Подставим значения: \[ V_2 = \pi (2x)^2 (3x) = \pi \cdot 4x^2 \cdot 3x = 12\pi x^3 \]
Теперь, чтобы найти отношение объемов первого образованного тела к объему второго, нужно вычислить: \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{9\pi x^3}{12\pi x^3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]
Таким образом, отношение объема первого образованного тела к объему второго равно \(\frac{3}{4}\).
