Диагонали ромба относятся как 1 : 3. Периметр ромба равен 90. Найдите высоту ромба.
Привет! Давай решим эту задачу по шагам.
- У нас есть ромб, диагонали которого относятся как 1:3.
- Периметр ромба равен 90.
- Нужно найти высоту ромба.
Шаг 1: Обозначим длины диагоналей Пусть диагонали ромба равны \( 2x \) и \( 6x \) (учитывая их отношение 1:3).
Шаг 2: Найдём сторону ромба Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, значит, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны ромба (пусть она будет равна \( a \)). Полыгiдиагонали будут равны \( x \) и \( 3x \). \( a = \sqrt{x^2 + (3x)^2} = \sqrt{x^2 + 9x^2} = \sqrt{10x^2} = x\sqrt{10} \).
Шаг 3: Найти длину одной стороны через периметр Периметр ромба - это сумма всех его сторон, и так как у ромба все стороны равны, периметр будет равен 4*a. So: \[ 4 \cdot a = 90 \] \[ a = \frac {90}{4} = 22.5 \]
Так как \( a = x\sqrt{10} \): \[ x\sqrt{10} = 22.5 \] \[ x = \frac{22.5}{\sqrt{10}} = \frac{22.5 \sqrt{10}}{10} = 2.25 \sqrt{10} \]
Шаг 4: Найдём высоту ромба Высота ромба \( h \) - это расстояние между двумя противоположными сторонами. Для нахождения высоты используем формулу: площадь ромба равна полупроизведению диагоналей. Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту.
Площадь ромба: \[ S = \frac {1}{2} \cdот 2х \cdот 6х = 6х^2 \] Также S=a \cdot h: \[ S = 22.5 \cdot h \] Значит, у нас два выражения для площади: \[ 6x^2 = 22.5h \] \[ 6 (2.25 \sqrt{10})^2 = 22.5 h \] \[ 6 \cdot 50.625 = 22.5 h \] \[ 303.75 = 22.5 h \]
Находим высоту \( h \): \[ h = \frac{303.75}{22.5} = 13.5 \]
Итак, высота ромба равняется 13.5.
