Відрізок АВ завдовжки 17см поділено на три нерівні відрізки. Знайдіть довжину середнього відрізка, якщо відстань між серединами крайніх відрізків дорівнює 13см.
Для решения задачи о делении отрезка AB на три неравные части, обозначим длины отрезков как \(x\), \(y\) и \(z\), где \(x\) - длина первого отрезка, \(y\) - длина второго отрезка, и \(z\) - длина третьего отрезка.
Согласно условию, сумма длин всех отрезков равна длине отрезка АВ:
\[ x + y + z = 17 \text{ см} \]
Также известно, что расстояние между серединами крайних отрезков равно 13 см. Середина первого отрезка находится на расстоянии \(\frac{x}{2}\) от точки A, а середина третьего отрезка - на расстоянии \(x + y + \frac{z}{2}\) от точки A. Разница между этими двумя позициями дает расстояние между их серединами:
\[ (x + y + \frac{z}{2}) - \frac{x}{2} = 13 \]
Упростим это выражение:
\[ x + y + \frac{z}{2} - \frac{x}{2} = 13 \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ \frac{2x - x}{2} + y + \frac{z}{2} = 13 \]
Это упростится до:
\[ \frac{x}{2} + y + \frac{z}{2} = 13 \]
Теперь умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ x + 2y + z = 26 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\(x + y + z = 17\)
\(x + 2y + z = 26\)
Вычтем первое уравнение из второго:
\[ (x + 2y + z) - (x + y + z) = 26 - 17 \]
Это позволяет нам упростить систему:
\[ y = 9 \]
Теперь, подставим значение \(y\) обратно в первое уравнение:
\[ x + 9 + z = 17 \implies x + z = 8 \]
Таким образом, мы можем записать \(z\) через \(x\):
\[ z = 8 - x \]
Теперь у нас есть \(y = 9\) и выражение для \(z\). Длина среднего отрезка, который равен \(y\), составляет 9 см.
Итак, длина среднего отрезка \(y\) равна 9 см.
