Является ли число (440!+441!)*442! квадратом натурального числа?

Чтобы выяснить, является ли число \( (440! + 441!) \times 442! \) квадратом натурального числа, начнем с упрощения выражения.

Прежде всего, заметим, что \( 441! \) можно выразить через \( 440! \): \[ 441! = 441 \times 440! \] Таким образом, можно переписать сумму: \[ 440! + 441! = 440! + 441 \times 440! = 440! (1 + 441) = 440! \times 442 \]

Теперь подставим это в исходное выражение: \[ (440! + 441!) \times 442! = (440! \times 442) \times 442! \] Это равно: \[ 440! \times 442 \times 442! \] Заметим, что \( 442! = 442 \times 441! \), а \( 441! = 441 \times 440! \). Следовательно, мы можем выразить \( 442! \) через \( 440! \): \[ 442! = 442 \times 441 \times 440! \]

Теперь подставляя в наше выражение, получим: \[ 440! \times 442 \times 442 \times 441 \times 440! = 440!^2 \times 442^2 \times 441 \]

Это выражение является произведением квадратов: \( (440! \times 442)^2 \times 441 \).

Теперь мы знаем, что для числа в форме \( k^2 \times m \) результат будет квадратом только в случае, если \( m \) само является квадратом. Число \( 441 \) равно \( 21^2 \), что является квадратом.

Следовательно, \( (440! + 441!) \times 442! \) является квадратом натурального числа, так как мы получили его в форме \( (n^2 \times m^2) \), где \( m \) тоже является квадратом.

Ответ: Да, число \( (440! + 441!) \times 442! \) является квадратом натурального числа.