В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках K, L и M соответственно. Периметр треугольника ABC равен 120 см, AK:KB=3:5, CL=4 см. Чему равна сторона AB?
Для решения задачи давайте обозначим длины сторон треугольника \(AB\), \(BC\) и \(AC\) как \(c\), \(a\) и \(b\) соответственно.
Из условия нам дано, что периметр треугольника равен 120 см, значит:
\[ a + b + c = 120 \]
Также известно, что отношение отрезков \(AK\) и \(KB\) равно \(3:5\). Обозначим \(AK = 3x\) и \(KB = 5x\). Тогда длина стороны \(AB\) будет равна:
\[ c = AK + KB = 3x + 5x = 8x \]
Следовательно:
\[ c = 8x \]
Также известен отрезок \(CL = 4 \, \text{см}\), который равен \(BL = b - CL = b - 4\). Поскольку \(c\) и \(b\) касаются окружности, можно использовать теорему о касательных:
- \(AK = 3x\)
- \(KB = 5x\)
- \(CL = 4\)
- \(BM = b - 4\)
- \(AM = a - 3x\)
Из того что \(AK = AM\), \(KB = BL\), \(CL = BM\), мы можем записать:
\[ AM = 3x, \, BL = 4, \, BM = b - 4 \]
Поскольку \(AK = AM\), имеем:
\[ a - 3x = 3x \implies a = 6x \]
Также, \(BL = 4\) и \(BM = b - 4\), следовательно:
\[ c - 4 = b - 4 \implies c = b \]
Теперь мы можем выразить \(b\) через \(x\):
\[ b = c = 8x \]
Теперь подставим выражения для \(a\), \(b\) и \(c\) в уравнение периметра:
\[ 6x + 8x + 8x = 120 \] \[ 22x = 120 \implies x = \frac{120}{22} = \frac{60}{11} \approx 5.45 \]
Теперь можем найти сторону \(AB\):
\[ c = 8x = 8 \cdot \frac{60}{11} = \frac{480}{11} \approx 43.64 \, \text{см} \]
Таким образом, сторона \(AB\) равна \(\frac{480}{11}\) см или приблизительно 43.64 см.
