В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках K, L и M соответственно. Периметр треугольника ABC равен 120 см, AK:KB=3:5, CL=4 см. Чему равна сторона BC?

Question 1

Задача Задача №1635895

А

Аноним

26 сентября 2024 12:12 · публичный вопрос

А

Аноним 26 сентября 2024 12:12

В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках K, L и M соответственно. Периметр треугольника ABC равен 120 см, AK:KB=3:5, CL=4 см. Чему равна сторона BC?

Answer

Для решения задачи сначала найдем длины сторон треугольника ABC.

Дано:

Периметр треугольника ABC (P) = 120 см.
Отношение (AK:KB) = 3:5, что означает, что если обозначить длину отрезка AK как 3x, то длина отрезка KB будет 5x. Таким образом, мы можем записать, что:

\[ AB = AK + KB = 3x + 5x = 8x. \]

Сторона AC делится отрезками AM и MC, которые равны соответственно, так как AM и MC касаются окружности. Обозначим AM = m и MC = n. Тогда:

\[ AC = AM + MC = m + n. \]

Сторона BC делится отрезками BL и LC. Пусть BL = k, тогда LC = 4 см. Таким образом:

\[ BC = BL + LC = k + 4. \]

Так как периметр P = 120 см, мы можем записать следующее уравнение:

\[ AB + AC + BC = 120. \]

Подставим выражения для сторон:

\[ 8x + (m + n) + (k + 4) = 120. \]

Это уравнение можно упрощать. Однако, пока у нас нет явных выражений для всех сторон, нам нужно сделать некоторые выводы из заданных условиях.

Из условия AK:KB = 3:5 у нас есть:

\[ \frac{AK}{KB} = \frac{3}{5} \rightarrow AK = \frac{3}{8} \cdot AB \text{ и } KB = \frac{5}{8} \cdot AB. \]

Так как по определению окружности, касающейся сторон, отрезки, проведенные из одной точки касания, будут равны. То есть:

\[ AK = AM \text{ и } KB = BL. \]

Это означает, что:

\[ AM = 3x, \quad BL = 5x, \quad LC = 4, \quad AM = m, \quad MC = n. \]

Обозначим AM = m = AK, что равно 3x, и согласно предыдущему соотношению, MC = n = 4.

Теперь знаем, что стороны можно выразить через KL и их характеристики:

Сторона AB у нас:

\[ AB = 8x, \]

Сторона AC:

\[ AC = 3x + (n=4) = 3x + 4, \]

Сторона BC:

\[ BC = 5x + 4. \]

Теперь мы можем добавить их в соответствии с периметром:

\[ 8x + (3x + 4) + (5x + 4) = 120. \]

Объединим все x:

\[ 8x + 3x + 4 + 5x + 4 = 120. \]

Получим:

\[ 16x + 8 = 120. \]

Теперь вычтем 8:

\[ 16x = 112 \rightarrow x = 7. \]

Теперь можем найти длины сторон:

Длина AB:

\[ AB = 8x = 8 \cdot 7 = 56 \text{ см}. \]

Длина AC:

\[ AC = 3x + 4 = 3 \cdot 7 + 4 = 21 + 4 = 25 \text{ см}. \]

Длина BC:

\[ BC = 5x + 4 = 5 \cdot 7 + 4 = 35 + 4 = 39 \text{ см}. \]

Таким образом, длина стороны BC равна 39 см.

Question 2

В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках K, L и M соответственно. Периметр треугольника ABC равен 120 см, AK:KB=3:5, CL=4 см. Чему равна сторона BC?

Answer

Для решения задачи сначала найдем длины сторон треугольника ABC. Дано: - Периметр треугольника ABC (P) = 120 см. - Отношение (AK:KB) = 3:5, что означает, что если обозначить длину отрезка AK как 3x, то длина отрезка KB будет 5x. Таким образом, мы можем записать, что: \[ AB = AK + KB = 3x + 5x = 8x. \] - Сторона AC делится отрезками AM и MC, которые равны соответственно, так как AM и MC касаются окружности. Обозначим AM = m и MC = n. Тогда: \[ AC = AM + MC = m + n. \] - Сторона BC делится отрезками BL и LC. Пусть BL = k, тогда LC = 4 см. Таким образом: \[ BC = BL + LC = k + 4. \] Так как периметр P = 120 см, мы можем записать следующее уравнение: \[ AB + AC + BC = 120. \] Подставим выражения для сторон: \[ 8x + (m + n) + (k + 4) = 120. \] Это уравнение можно упрощать. Однако, пока у нас нет явных выражений для всех сторон, нам нужно сделать некоторые выводы из заданных условиях. Из условия AK:KB = 3:5 у нас есть: \[ \frac{AK}{KB} = \frac{3}{5} \rightarrow AK = \frac{3}{8} \cdot AB \text{ и } KB = \frac{5}{8} \cdot AB. \] Так как по определению окружности, касающейся сторон, отрезки, проведенные из одной точки касания, будут равны. То есть: \[ AK = AM \text{ и } KB = BL. \] Это означает, что: \[ AM = 3x, \quad BL = 5x, \quad LC = 4, \quad AM = m, \quad MC = n. \] Обозначим AM = m = AK, что равно 3x, и согласно предыдущему соотношению, MC = n = 4. Теперь знаем, что стороны можно выразить через KL и их характеристики: Сторона AB у нас: \[ AB = 8x, \] Сторона AC: \[ AC = 3x + (n=4) = 3x + 4, \] Сторона BC: \[ BC = 5x + 4. \] Теперь мы можем добавить их в соответствии с периметром: \[ 8x + (3x + 4) + (5x + 4) = 120. \] Объединим все x: \[ 8x + 3x + 4 + 5x + 4 = 120. \] Получим: \[ 16x + 8 = 120. \] Теперь вычтем 8: \[ 16x = 112 \rightarrow x = 7. \] Теперь можем найти длины сторон: 1. Длина AB: \[ AB = 8x = 8 \cdot 7 = 56 \text{ см}. \] 2. Длина AC: \[ AC = 3x + 4 = 3 \cdot 7 + 4 = 21 + 4 = 25 \text{ см}. \] 3. Длина BC: \[ BC = 5x + 4 = 5 \cdot 7 + 4 = 35 + 4 = 39 \text{ см}. \] Таким образом, длина стороны BC равна 39 см.