Теорема Виета

Теорема Виета — это важный результат в алгебре, который устанавливает связь между коэффициентами многочлена и его корнями. Основные положения теоремы Виета можно сформулировать следующим образом для многочлена второй степени (квадратного уравнения), третьей степени и более:

1. Для квадратичного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

   • Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения, то: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

2. Для кубического уравнения \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \):

   • Если \( x_1, x_2, x_3 \) — корни, то: \[ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = \frac{c}{a} \] \[ x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a} \]

3. Для уравнения n-ой степени \( a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0 \):

   • Пусть \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) — корни уравнения. Тогда выполняются следующие равенства: \[ x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \] \[ \text{Сумма произведений корней по 2 (для n=3 и более):} \quad S_2 = \sum_{i < j} x_i x_j = \frac{a_{n-2}}{a_n} \] \[ \text{Сумма произведений корней по 3 (для n=4 и более):} \quad S_3 = \sum_{i < j < k} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n} \] \[ \ldots \] \[ x_1 x_2 \ldots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \]

Эта теорема значительно упрощает поиск корней многочленов и изучение их свойств, а также используется в различных областях математики, включая алгебру и анализ.