Точки А и В лежат в плоскости а, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости α.

Чтобы доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков \( AC \) и \( BC \), параллельна плоскости \( \alpha \), воспользуемся следующими шагами.

1. Обозначим середины отрезков: Пусть \( M \) — середина отрезка \( AC \), а \( N \) — середина отрезка \( BC \). Середины определяются как: \[ M = \frac{A + C}{2}, \quad N = \frac{B + C}{2} \]

2. Определение векторов: Теперь рассмотрим вектор \( \overrightarrow{MN} \), который можно выразить как: \[ \overrightarrow{MN} = N - M = \left(\frac{B + C}{2}\right) - \left(\frac{A + C}{2}\right) = \frac{B - A}{2} \]

   Это показывает, что вектор \( \overrightarrow{MN} \) является полупроизводной вектора \( \overrightarrow{AB} \).

3. Параллельность вектора плоскости: Плоскость \( \alpha \) задана двумя независимыми векторами \( \overrightarrow{u} \) и \( \overrightarrow{v} \). Для того чтобы прямая \( MN \) была параллельна плоскости, необходимо, чтобы вектор \( \overrightarrow{MN} \) был перпендикулярен нормальному вектору плоскости \( \alpha \).

4. Нормальный вектор: Поскольку точки \( A \) и \( B \) лежат в плоскости \( \alpha \), нормальный вектор \( \overrightarrow{n} \) плоскости \( \alpha \) можно определить как: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BC} \] Где \(\times\) обозначает векторное произведение.

5. Проверка перпендикулярности: Для того чтобы прямая \( MN \) была параллельна плоскости, необходимо продемонстрировать, что: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \] Так как \( \overrightarrow{n} \) перпендикулярен вектора \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BC} \), это условие выполняется, поскольку \( C \) лежит вне плоскости \( \alpha \).

Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков \( AC \) и \( BC \), действительно является параллельной плоскости \( \alpha \).