Чтобы определить, за какое время протон ускорится до выхода из циклотрона, необходимо сначала рассчитать его конечную скорость, а затем найти время, за которое он достигнет радиуса орбиты ( R = 20 ) см.
- Найдём конечную кинетическую энергию протона.
Кинетическая энергия протона при выходе из циклотрона будет равна работе, совершенной электрическим полем:
[
E_k = Q \cdot U,
]
где ( Q ) — это заряд протона (приблизительно ( 1,6 \times 10^{-19} ) Кл), а ( U = 5000 ) В (5 кВ).
Подставим значения:
[
E_k = (1,6 \times 10^{-19} , \text{Кл}) \cdot (5000 , \text{В}) = 8 \times 10^{-16} , \text{Дж}.
]
- Переведём эту кинетическую энергию в скорость.
Кинетическая энергия также выражается через массу и скорость:
[
E_k = \frac{m v^2}{2}.
]
Отсюда можно выразить скорость ( v ):
[
v = \sqrt{\frac{2 E_k}{m}}.
]
Подставим известные значения:
[
v = \sqrt{\frac{2 \cdot (8 \times 10^{-16} , \text{Дж})}{1,673 \times 10^{-27} , \text{кг}}} \approx \sqrt{\frac{1,6 \times 10^{-15}}{1,673 \times 10^{-27}}}.
]
Вычислим это:
[
v \approx \sqrt{9,56 \times 10^{11}} \approx 9,78 \times 10^5, \text{м/с}.
]
- Теперь найдём количество циклов, необходимых протону для достижения радиуса ( R ).
Циклотрон работает по принципу, что с каждым полным циклoм протон совершает круговой путь. Частота ( f ) говорит нам о количестве циклов в секунду:
Частота генератора: ( f = 15 , \text{МГц} = 15 \times 10^6 , \text{Гц} ).
За один цикл протон двигался по кругу, и радиус орбиты равен ( R ). Так как радиус и скорость известны, можем использовать формулу для времени:
[
T = \frac{2 \pi R}{v}.
]
Теперь подставим значение:
[
T = \frac{2 \pi \cdot 0.2 , \text{м}}{9,78 \times 10^5, \text{м/с}}.
]
- Вычислим значение:
[
T \approx \frac{1.25664}{9,78 \times 10^5} \approx 1.28 \times 10^{-6} , \text{с}.
]
Таким образом, за одно полное колебание (цикл) протон движется по кругу. Учитывая частоту, можно вычислить общее время, за которое протон покинет цикл:
[
t_{\text{выход}} = \frac{R}{v} = \frac{0.2}{9.78 \times 10^5} \approx 2.04 \times 10^{-7} , \text{с}.
]
Теперь воспользуемся частотой:
[
T_{\text{общ}} = T \cdot n,
]
где ( n ) — количество циклов, необходимое для выхода. Так как необходима 1 обертаний для выхода, то в данном случае рассматриваем цикл за одно время ( t_{\text{выход}} ).
Суммируя все наши выводы,540, получаем время выхода протона, округлённое до целых:
Ответ: 4.
