Найдите координаты точек, в которых пересекаются: 1) парабола, заданная формулой у=х²-6х+5,и прямая, заданная формулой у=3х-3 2) окружность,заданная формулой х²+у²=16,и прямая,заданная формулой у=х+4 3) окружность,заданная формулой х²+у²=25,и парабола,заданная формулой у=х²+5
Давайте найдем координаты точек пересечения указанных фигур!
1) Парабола \( y = x^2 - 6x + 5 \) и прямая \( y = 3x - 3 \)
Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части:
\[ x^2 - 6x + 5 = 3x - 3 \]
Переносим все в одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 6x - 3x + 5 + 3 = 0 \implies x^2 - 9x + 8 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \]
Так как дискриминант положительный, найдём корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{2} \]
Получаем два решения:
\[ x_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = 8\):
\[ y = 3(8) - 3 = 24 - 3 = 21 \]
Для \(x_2 = 1\):
\[ y = 3(1) - 3 = 3 - 3 = 0 \]
Таким образом, точки пересечения: \((8, 21)\) и \((1, 0)\).
2) Окружность \( x^2 + y^2 = 16 \) и прямая \( y = x + 4 \)
Приравняем уравнения:
\[ x^2 + (x + 4)^2 = 16 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + (x^2 + 8x + 16) = 16 \implies 2x^2 + 8x + 16 - 16 = 0 \implies 2x^2 + 8x = 0 \]
Факторизуем:
\[ 2x(x + 4) = 0 \]
Таким образом, \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -4\).
Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = 0\):
\[ y = 0 + 4 = 4 \]
Для \(x_2 = -4\):
\[ y = -4 + 4 = 0 \]
Следовательно, точки пересечения: \((0, 4)\) и \((-4, 0)\).
3) Окружность \( x^2 + y^2 = 25 \) и парабола \( y = x^2 + 5 \)
Приравняем уравнения:
\[ x^2 + (x^2 + 5)^2 = 25 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + (x^4 + 10x^2 + 25) = 25 \implies x^4 + 11x^2 + 25 - 25 = 0 \implies x^4 + 11x^2 = 0 \]
Факторизуем:
\[ x^2(x^2 + 11) = 0 \]
Таким образом, \(x_1 = 0\) и \(x^2 + 11 = 0\) не даёт действительных корней. Значит, единственная точка:
Для \(x_1 = 0\):
\[ y = 0^2 + 5 = 5 \]
Следовательно, точка пересечения: \((0, 5)\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобрать другие задачи, не стесняйтесь спрашивать!
