Давайте расставим недостающие знаки препинания в предложениях и объясним, где и почему ставится запятая перед союзом "и".
Слух обо мне пройдет по всей Руси великой, и назовет меня всяк сущий в ней язык.
- Запятая ставится, потому что предложения "Слух обо мне пройдет по всей Руси великой" и "назовет меня всяк сущий в ней язык" являются самостоятельными.
Дым от еловых шишек повалил очень густой, и скоро мы выжили комаров и выгнали их на дождик.
- Запятая перед "и" не нужна, так как "выжили комаров и выгнали их на дождик" — это однородные сказуемые.
Луна рано поднялась, и можно было без труда двигаться дальше.
- Запятая ставится, так как это два самостоятельных предложения.
Север сказочно богат, и один наш Север способен прокормить население всей России.
- Здесь тоже ставится запятая, так как обе части являются самостоятельными.
По водоему расходились ленивые волны, и с тихим плеском лизали берег.
- Запятая отделяет самостоятельные части.
Ветер, становясь сильнее, быстрее катил к берегу темно-серые волны и вздымал их вверх.
- Здесь запятая ставится перед "становясь", так как это обособленный обстоятельственный оборот.
Теперь по поводу запятой перед союзом "и": она ставится, если соединяются два самостоятельных предложения. Если же "и" соединяет однородные члены или части предложения, запятая не ставится.
Если у вас возникнут дополнительные вопросы, обязательно сообщите!