(х²+4х) (х²+4х-17) +60=0

Чтобы решить уравнение \((x^2 + 4x)(x^2 + 4x - 17) + 60 = 0\), начнем с упрощения его.

Обозначим \(y = x^2 + 4x\). Тогда наше уравнение можно переписать так:

\[ (y)(y - 17) + 60 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ y^2 - 17y + 60 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -17\), \(c = 60\).

Подставим значения в формулу:

\[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 \]

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два разных корня. Теперь найдем корни по формуле:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения:

\[ y = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2} \]

Вычислим два корня:

1. \(y_1 = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12\)
2. \(y_2 = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

Теперь, подставим \(y = x^2 + 4x\) обратно в уравнение:

1. \(x^2 + 4x = 12\)
2. \(x^2 + 4x = 5\)

Теперь решим каждое из уравнений.

1. Решаем \(x^2 + 4x - 12 = 0\)

Используем дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]

Находим корни:

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} \]

Корни:

• \(x_1 = \frac{4}{2} = 2\)
• \(x_2 = \frac{-12}{2} = -6\)

2. Решаем \(x^2 + 4x - 5 = 0\)

Дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Находим корни:

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]

Корни:

• \(x_1 = \frac{2}{2} = 1\)
• \(x_2 = \frac{-10}{2} = -5\)

Итак, мы нашли все корни уравнения:

1. \(x = 2\)
2. \(x = -6\)
3. \(x = 1\)
4. \(x = -5\)

Ответ: \(x = 2\), \(x = -6\), \(x = 1\), \(x = -5\).