(2x-x²) (16-x²) ≥0

Чтобы решить неравенство \((2x - x^2)(16 - x^2) \geq 0\), начнем с нахождения нулей каждого множителя.

1. Находим нули первого множителя:
   \(2x - x^2 = 0\)
   Это можно переписать как:
   \(x(2 - x) = 0\)
   Таким образом, \(x = 0\) или \(x = 2\).

2. Находим нули второго множителя:
   \(16 - x^2 = 0\)
   Это уравнение можно решить как:
   \(x^2 = 16\)
   Отсюда получаем \(x = 4\) или \(x = -4\).

Теперь мы имеем нули \(x = -4\), \(x = 0\), \(x = 2\) и \(x = 4\). Эти точки разделяют числовую прямую на несколько интервалов, которые нам нужно протестировать:

• \((-∞, -4)\)
• \((-4, 0)\)
• \((0, 2)\)
• \((2, 4)\)
• \((4, +∞)\)

Теперь мы проверим знак выражения \((2x - x^2)(16 - x^2)\) на каждом интервале.

1. Для интервала \((-∞, -4)\):
   Например, возьмем \(x = -5\):
   \((2(-5) - (-5)^2)(16 - (-5)^2) = (-10 - 25)(16 - 25) = (-35)(-9) > 0\).

2. Для интервала \((-4, 0)\):
   Например, возьмем \(x = -1\):
   \((2(-1) - (-1)^2)(16 - (-1)^2) = (-2 - 1)(16 - 1) = (-3)(15) < 0\).

3. Для интервала \((0, 2)\):
   Например, возьмем \(x = 1\):
   \((2(1) - (1)^2)(16 - (1)^2) = (2 - 1)(16 - 1) = (1)(15) > 0\).

4. Для интервала \((2, 4)\):
   Например, возьмем \(x = 3\):
   \((2(3) - (3)^2)(16 - (3)^2) = (6 - 9)(16 - 9) = (-3)(7) < 0\).

5. Для интервала \((4, +∞)\):
   Например, возьмем \(x = 5\):
   \((2(5) - (5)^2)(16 - (5)^2) = (10 - 25)(16 - 25) = (-15)(-9) > 0\).

Теперь мы можем подвести итоги по знакам в каждом интервале:

• \((-∞, -4)\): положительно
• \((-4, 0)\): отрицательно
• \((0, 2)\): положительно
• \((2, 4)\): отрицательно
• \((4, +∞)\): положительно

Теперь нужно учесть сами нули. Поскольку мы ищем, где \((2x - x^2)(16 - x^2) \geq 0\), это означает, что мы принимаем нули в решение.

Следовательно, решение нашего неравенства:

\[ x \in (-\infty, -4] \cup [0, 2] \cup [4, +\infty) \]

Это окончательное решение. Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснить какие-то шаги, обращайтесь!