Задача «Точность часов» 11. Швейцарские часы испытывают на точность с помощью специального теста. В ходе теста определяется ошибка измерения времени (в секундах на протяжении суток) при разной температуре, влажности и в разных положениях механизма. Часы получают сертификат точности, если размах ошибки меньше 5 секунд за сутки, а дисперсия меньше 3. Если ошибка в ту или иную сторону превышает 2 секунды, то часы нуждаются в регулировке. В таблице даны результаты пяти непытаний отдельного часового механизма. Номер испытання 2 3 4 Ошибка, с -1.1 -2.7 -0.8 -5.5 а) Найдите среднюю ошибку, размах и дисперсию ошибки. 6) Определите, получат ли эти часы сертификат точности и нуждаются ли они в регулировке.

Давайте решим задачу по шагам.

Имеем ошибки измерения времени в секундах:

• Испытание 1: -1.1
• Испытание 2: -2.7
• Испытание 3: -0.8
• Испытание 4: -5.5

a) Найдем среднюю ошибку, размах и дисперсию.

1. Средняя ошибка (M):

Чтобы найти среднюю ошибку, сложим все ошибки и разделим на их количество.

\[ M = \frac{(-1.1) + (-2.7) + (-0.8) + (-5.5)}{4} = \frac{-10.1}{4} = -2.525 \]

2. Размах ошибки (R):

Размах – это разница между максимальным и минимальным значениями.

Максимальное значение: -0.8 (наименьшая отрицательная ошибка)
Минимальное значение: -5.5

\[ R = \text{Максимум} - \text{Минимум} = (-0.8) - (-5.5) = -0.8 + 5.5 = 4.7 \]

3. Дисперсия (D):

Дисперсия рассчитывается по формуле:

\[ D = \frac{\sum (x_i - M)^2}{n} \]

где \( x_i \) – значения ошибок, \( M \) – средняя ошибка, \( n \) – количество испытаний.

Сначала найдем значение выражения \( (x_i - M)^2 \) для каждой ошибки:

• Для -1.1: \[ (-1.1 + 2.525)^2 = (1.425)^2 \approx 2.030625 \]

• Для -2.7: \[ (-2.7 + 2.525)^2 = (-0.175)^2 \approx 0.030625 \]

• Для -0.8: \[ (-0.8 + 2.525)^2 = (1.725)^2 \approx 2.980625 \]

• Для -5.5: \[ (-5.5 + 2.525)^2 = (-2.975)^2 \approx 8.850625 \]

Теперь найдем сумму этих значений и разделим на количество испытаний:

\[ D = \frac{2.030625 + 0.030625 + 2.980625 + 8.850625}{4} = \frac{13.8925}{4} \approx 3.473125 \]

Таким образом, получаем:

• Средняя ошибка \( M \approx -2.525 \)
• Размах \( R = 4.7 \)
• Дисперсия \( D \approx 3.473125 \)

б) Условия для сертификата точности и регулировки:

1. Сертификат точности: размах ошибки должен быть меньше 5 секунд за сутки и дисперсия должна быть меньше 3.
   • Размах \( R = 4.7 \) (не меньше 5) → Условие не выполнено.
   • Дисперсия \( D \approx 3.473125 \) (не меньше 3) → Условие не выполнено.

Поэтому часы не получат сертификат точности.

2. Регулировка часов: ошибка в ту или иную сторону превышает 2 секунды.
   • Ошибка в самом значительном испытании составляет -5.5 (это превышает -2) → Часы нуждаются в регулировке.

В заключении:

• Часы не получат сертификат точности.
• Часы нуждаются в регулировке.