1. Разложите число 585 на простые множители. 2. Найдите наибольший общий делитель чисел а) 6 и 15; б) 12 и 30; в) 1440 и 54; г) 21, 35 и 63. 3. Докажите, что числа 98 и 665 взаимно простые. 4. Туристы проехали за 1 день 56 км, а за 2 - 72км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи.

Давайте разберемся с каждым из вопросов по порядку.

1. Разложение числа 585 на простые множители.

Чтобы разложить число 585 на простые множители, начнем с деления на наименьшие простые числа.

• 585 делим на 3:
  \( 585 \div 3 = 195 \).

• 195 снова делим на 3:
  \( 195 \div 3 = 65 \).

• Теперь делим 65 на 5:
  \( 65 \div 5 = 13 \).

• 13 — это простое число.

Таким образом, разложение числа 585 на простые множители будет:
\( 585 = 3^2 \times 5 \times 13 \).

2. Наибольший общий делитель чисел.

а) Для нахождения НОД (наибольший общий делитель) 6 и 15, разложим их на простые множители:

• 6 = \( 2 \times 3 \)
• 15 = \( 3 \times 5 \)
  Общий множитель — 3.
  Ответ: НОД(6, 15) = 3.

б) Для 12 и 30:

• 12 = \( 2^2 \times 3 \)
• 30 = \( 2 \times 3 \times 5 \)
  Общие множители — 2 и 3.
  Ответ: НОД(12, 30) = 6.

в) Для 1440 и 54:

• 1440 = \( 2^5 \times 3^2 \times 5 \)
• 54 = \( 2 \times 3^3 \)
  Общие множители — 2 и 3.
  Ответ: НОД(1440, 54) = 18.

г) Для 21, 35 и 63:

• 21 = \( 3 \times 7 \)
• 35 = \( 5 \times 7 \)
• 63 = \( 3^2 \times 7 \)
  Общий множитель — 7.
  Ответ: НОД(21, 35, 63) = 7.

3. Доказательство, что числа 98 и 665 взаимно простые.

Чтобы доказать, что числа 98 и 665 взаимно простые, нужно убедиться, что их НОД равен 1.

• 98 разложим на простые множители:
  \( 98 = 2 \times 7^2 \).

• 665 разложим на простые множители:
  \( 665 = 5 \times 7 \times 19 \).

Общий множитель между ними — 7.
Так как в разложении 98 содержится 7, а в разложении 665 также содержится 7, следовательно, НОД(98, 665) равен 7, а значит они не взаимно простые.

4. Нахождение скорости туристов.

Пусть скорость туристов равна \( v \) км/ч, и пусть они путешествовали \( t_1 \) и \( t_2 \) часов в первый и второй день соответственно.

У нас есть два уравнения:

1. \( v \cdot t_1 = 56 \) (первый день)
2. \( v \cdot t_2 = 72 \) (второй день)

Из этих уравнений можно выразить время:
\( t_1 = \frac{56}{v} \)
\( t_2 = \frac{72}{v} \)

Скорость \( v \) должна быть целым числом, и \( t_1 \) и \( t_2 \) тоже должны быть целыми. Подставляем и решаем:

Чтобы \( 56 \) и \( 72 \) делились на \( v \), примем делители 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 и 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Общие делители: 1, 2, 4, 8.

Теперь найдем максимальный из этих делителей, который удовлетворяет условиям задачи:

• Проверяем делитель 8:
  • \( t_1 = 56 / 8 = 7 \)
  • \( t_2 = 72 / 8 = 9 \) Так, оба значения целые.

Таким образом, максимальная скорость, с которой ехали туристы, равна 8 км/ч.

Если будут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!