Решить в целых числах уравнение: 2x² + y + 31 =xy + 7x
Чтобы решить уравнение \(2x^2 + y + 31 = xy + 7x\) в целых числах, начнем с преобразования уравнения.
Переносим все члены на одну сторону:
\[ 2x^2 + y + 31 - xy - 7x = 0 \]
Теперь группируем его так, чтобы выразить \(y\):
\[ -xy + y + 2x^2 - 7x + 31 = 0 \]
Группируем по \(y\):
\[ y(1 - x) = -2x^2 + 7x - 31 \]
Теперь, чтобы выразить \(y\), делим обе стороны на \(1 - x\), учитывая, что \(x \neq 1\):
\[ y = \frac{-2x^2 + 7x - 31}{1 - x} \]
Теперь будем подбирать целые значения \(x\) и проверять, дает ли выражение для \(y\) целое значение.
Если \(x = 0\): \[ y = \frac{0 + 0 - 31}{1 - 0} = -31 \quad \Rightarrow \quad (0, -31) \]
Если \(x = 2\): \[ y = \frac{-2(2^2) + 7(2) - 31}{1 - 2} = \frac{-8 + 14 - 31}{-1} = \frac{-25}{-1} = 25 \quad \Rightarrow \quad (2, 25) \]
Если \(x = 3\): \[ y = \frac{-2(3^2) + 7(3) - 31}{1 - 3} = \frac{-18 + 21 - 31}{-2} = \frac{-28}{-2} = 14 \quad \Rightarrow \quad (3, 14) \]
Если \(x = 4\): \[ y = \frac{-2(4^2) + 7(4) - 31}{1 - 4} = \frac{-32 + 28 - 31}{-3} = \frac{-35}{-3} \quad \text{(не целое)} \]
Если \(x = 5\): \[ y = \frac{-2(5^2) + 7(5) - 31}{1 - 5} = \frac{-50 + 35 - 31}{-4} = \frac{-46}{-4} \quad \text{(не целое)} \]
Если \(x = -1\): \[ y = \frac{-2(-1^2) + 7(-1) - 31}{1 - (-1)} = \frac{-2 - 7 - 31}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \quad \Rightarrow \quad (-1, -20) \]
Теперь, обобщая наши находки, решения уравнения в целых числах:
- \( (0, -31) \)
- \( (2, 25) \)
- \( (3, 14) \)
- \( (-1, -20) \)
Это целые решения уравнения \(2x^2 + y + 31 = xy + 7x\). Вы можете продолжать проверять другие целые значения \(x\), если хотите найти больше решений!
