доказать: n⁷ + 70n⁵ - 7n³ - 120n делится на 14
Давайте рассмотрим выражение \( n^7 + 70n^5 - 7n^3 - 120n \) и докажем, что оно делится на 14.
Для этого, сначала выделим общий множитель в каждом из членов:
\[ n(n^6 + 70n^4 - 7n^2 - 120) \]
Теперь мы видим, что \( n \) – это множитель, и для проверки делимости на 14 нам нужно рассмотреть выражение \( n^6 + 70n^4 - 7n^2 - 120 \).
Чтобы показать, что всё выражение делится на 14, мы можем воспользоваться доказательством по модулю 2 и модулю 7, так как 14 = 2 * 7.
- Проверка делимости на 2:
Общее выражение при \( n \) четном:
- \( n^7 \) - четное
- \( 70n^5 \) - четное
- \( -7n^3 \) - четное или нечетное, в зависимости от \( n \)
- \( -120n \) - четное
Все четные, значит выражение четное.
Общее выражение при \( n \) нечетном:
- \( n^7 \) - нечетное
- \( 70n^5 \) - четное
- \( -7n^3 \) - нечетное
- \( -120n \) - четное
В нечетном случае остаётся сумма нечетных, что тоже нечетно.
Таким образом, независимо от чётности \( n \), выражение будет делиться на 2.
- Проверка делимости на 7:
Теперь рассмотрим выражение по модулю 7:
- \( n^7 \equiv n \pmod{7} \) (по малой теореме Ферма)
- \( 70n^5 \equiv 0 \pmod{7} \)
- \( -7n^3 \equiv 0 \pmod{7} \)
- \( -120n \equiv -1n \pmod{7} \) (так как \( 120 \mod 7 = 1 \))
Объединяя все, получаем:
\[ n - 1n \equiv 0 \pmod{7} \]
То есть выражение делится на 7.
Таким образом, мы доказали, что \( n^7 + 70n^5 - 7n^3 - 120n \) делится как на 2, так и на 7, а следовательно, делится и на 14.
Заключение: выражение \( n^7 + 70n^5 - 7n^3 - 120n \) делится на 14 для любых значений \( n \).
