Мальчик вращает камень, привязанный к верёвке длиной 40 см, в вертикальной плоскости, делая 7 оборотов за 2 с. На какую высоту поднимется камень, если верёвка оборвётся в тот момент, когда скорость камня будет направлена вертикально вверх?
Чтобы решить эту задачу, начнём с определения некоторых параметров. Мальчик вращает камень с частотой 7 оборотов за 2 секунды, что позволяет нам найти угловую скорость и линейную скорость камня.
Частота вращения (f): \[ f = \frac{7 \text{ оборотов}}{2 \text{ секунды}} = 3.5 \text{ оборота в секунду} \]
Угловая скорость (ω): \[ \omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 3.5 = 7\pi \text{ рад/с} \]
Линейная скорость (v): Линейная скорость связана с угловой скоростью и длиной верёвки (r = 0.4 м): \[ v = r \cdot \omega = 0.4 \cdot 7\pi \approx 0.4 \cdot 21.99 \approx 8.8 \text{ м/с} \]
Теперь, когда верёвка обрывается, камень будет двигаться вертикально вверх с этой начальной скоростью (v = 8.8 м/с).
Чтобы найти максимальную высоту (h), на которую поднимется камень, воспользуемся законом сохранения энергии. В момент, когда камень обрывается, вся кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию в верхней точке.
Формула для высоты: Используем уравнение для потенциальной энергии и кинетической энергии: \[ \frac{mv^2}{2} = mgh \] Здесь m - масса камня, которая сократится при делении, g - ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²).
Упрощая, получим: \[ h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(8.8)^2}{2 \cdot 9.81} \approx \frac{77.44}{19.62} \approx 3.94 \text{ м} \]
Таким образом, камень поднимется на высоту приблизительно 3.94 метра после того, как верёвка обрывается и он начинает двигаться вверх.
