Сколько имеется семизначных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах различны?
Чтобы найти количество семизначных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах (1-й, 3-й, 5-й и 7-й) различны, мы можем воспользоваться комбинаторикой.
Семизначное число выглядит как \(d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7\), где \(d_1\) — это первая цифра (она не может быть 0, так как число натуральное).
В позиции \(d_1\) (1-е место):
- Возможные цифры: 1-9 (всего 9 вариантов).
В позиции \(d_3\) (3-е место):
- Здесь можно взять любую цифру от 0 до 9, кроме цифры, которая уже находится на \(d_1\). То есть, у нас 9 оставшихся вариантов (если \(d_1\) не равна 0).
В позиции \(d_5\) (5-е место):
- Можно взять любую цифру, кроме тех двух, которые уже использованы на \(d_1\) и \(d_3\). Это даст нам 8 вариантов.
В позиции \(d_7\) (7-е место):
- Мы исключаем уже использованные три цифры, что оставляет нам 7 вариантов.
Теперь мы перейдем к чётным позициям (2-е, 4-е и 6-е места). Эти позиции могут принимать любые цифры от 0 до 9, но могут совпадать. Итак:
В позиции \(d_2\) (2-е место):
- Любая цифра от 0 до 9, всего 10 вариантов.
В позиции \(d_4\) (4-е место):
- Также любая цифра от 0 до 9, всего 10 вариантов.
В позиции \(d_6\) (6-е место):
- Любая цифра от 0 до 9, всего 10 вариантов.
Теперь мы можем перемножить количество способов:
\[ 9 \, (d_1) \times 9 \, (d_3) \times 8 \, (d_5) \times 7 \, (d_7) \times 10 \, (d_2) \times 10 \, (d_4) \times 10 \, (d_6) = 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 10^3 \]
Теперь вычислим это значение:
\[ 9 \times 9 = 81, \]
\[ 81 \times 8 = 648, \]
\[ 648 \times 7 = 4536, \]
\[ 4536 \times 1000 = 4536000. \]
Таким образом, общее количество семизначных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах различны, равно 4 536 000.
