Случайная величина Х задана функцией распределения F(x)= 0 npux<=0,\\ x / 4 * npu * 0 < x <= 4 ,\\ 1&npux>4. Найти вероятность того, что в результате шести независимых испытаний…
Случайная величина Х задана функцией распределения F(x)= 0 npux<=0,\\ x / 4 * npu * 0 < x <= 4 ,\\ 1&npux>4. Найти вероятность того, что в результате шести независимых испытаний величина Х ровно четыре раза примет значение, принадлежащее интервалу (1; 3, 6)
Чтобы найти вероятность того, что случайная величина \(X\) в результате шести независимых испытаний примет значение из интервала \( (1, 3.6) \) ровно четыре раза, сначала определим соответствующую вероятность \(p\) того, что \(X\) будет находиться в этом интервале.
Сначала найдем \(F(1)\) и \(F(3.6)\):
Для \(x = 1\): \[ F(1) = \frac{1}{4} \cdot 1 = 0.25 \]
Для \(x = 3.6\): \[ F(3.6) = \frac{3.6}{4} = 0.9 \]
Теперь для нахождения вероятности того, что \(X\) попадает в интервал \( (1, 3.6) \), нужно вычислить: \[ P(1 < X \leq 3.6) = F(3.6) - F(1) = 0.9 - 0.25 = 0.65 \] Таким образом, вероятность \(p\) того, что случайная величина \(X\) находится в интервале \( (1, 3.6) \), равна 0.65.
Теперь воспользуемся биномиальным распределением, чтобы найти вероятность того, что \(X\) будет находиться в указанном интервале ровно четыре раза из шести испытаний.
Формула для биномиального распределения: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] где:
- \(n = 6\) — общее число испытаний,
- \(k = 4\) — число успехов (в нашем случае, случаев, когда \(X\) попадает в интервал),
- \(p = 0.65\) — вероятность успеха,
- \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент.
Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 4) = \binom{6}{4} (0.65)^4 (0.35)^{6-4} \]
Сначала найдем биномиальный коэффициент: \[ \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
Теперь вычислим полное значение: \[ P(X = 4) = 15 \cdot (0.65)^4 \cdot (0.35)^2 \]
Посчитаем \( (0.65)^4 \) и \( (0.35)^2 \): \[ (0.65)^4 \approx 0.179 \] \[ (0.35)^2 = 0.1225 \]
Теперь подставим и умножим: \[ P(X = 4) \approx 15 \cdot 0.179 \cdot 0.1225 \approx 15 \cdot 0.0219 \approx 0.3285 \]
Таким образом, вероятность того, что в результате шести независимых испытаний величина \(X\) ровно четыре раза примет значение, принадлежащее интервалу \( (1, 3.6) \), составляет примерно 0.3285 или 32.85%.
