Записать разложение бинома: (a-2b)⁶

Чтобы разложить биномиальное выражение \((a - 2b)^6\), мы можем использовать биномиальную теорему. Биномиальная теорема утверждает, что:

\[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot x^{n-k} \cdot y^k \]

где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае, \(x = a\), \(y = -2b\), и \(n = 6\).

Обозначим каждое слагаемое разложения по формуле:

\[ (a - 2b)^6 = \sum_{k=0}^{6} C(6, k) \cdot a^{6-k} \cdot (-2b)^k \]

Теперь можем записать каждое слагаемое:

\[ = C(6, 0) \cdot a^6 \cdot (-2b)^0 + C(6, 1) \cdot a^5 \cdot (-2b)^1 + C(6, 2) \cdot a^4 \cdot (-2b)^2 + C(6, 3) \cdot a^3 \cdot (-2b)^3 + C(6, 4) \cdot a^2 \cdot (-2b)^4 + C(6, 5) \cdot a^1 \cdot (-2b)^5 + C(6, 6) \cdot a^0 \cdot (-2b)^6 \]

Теперь подставим значения биномиальных коэффициентов и упростим каждое слагаемое:

1. \(C(6, 0) = 1\), следовательно: \(1 \cdot a^6 = a^6\)
2. \(C(6, 1) = 6\), следовательно: \(6 \cdot a^5 \cdot (-2b) = -12a^5b\)
3. \(C(6, 2) = 15\), следовательно: \(15 \cdot a^4 \cdot (-2b)^2 = 15 \cdot a^4 \cdot 4b^2 = 60a^4b^2\)
4. \(C(6, 3) = 20\), следовательно: \(20 \cdot a^3 \cdot (-2b)^3 = 20 \cdot a^3 \cdot (-8b^3) = -160a^3b^3\)
5. \(C(6, 4) = 15\), следовательно: \(15 \cdot a^2 \cdot (-2b)^4 = 15 \cdot a^2 \cdot 16b^4 = 240a^2b^4\)
6. \(C(6, 5) = 6\), следовательно: \(6 \cdot a^1 \cdot (-2b)^5 = 6 \cdot a \cdot (-32b^5) = -192ab^5\)
7. \(C(6, 6) = 1\), следовательно: \(1 \cdot (-2b)^6 = 64b^6\)

Теперь соберем все слагаемые вместе:

\[ (a - 2b)^6 = a^6 - 12a^5b + 60a^4b^2 - 160a^3b^3 + 240a^2b^4 - 192ab^5 + 64b^6 \]

Таким образом, разложение бинома \((a - 2b)^6\) равно:

\[ a^6 - 12a^5b + 60a^4b^2 - 160a^3b^3 + 240a^2b^4 - 192ab^5 + 64b^6 \]