Для функции найдите обратную функцию и постройте их гра- фики в одной координатной плоскости: 1) y = x ^ 2 + 1 при x >= 0 2) y = (x + 1) ^ 2 при x <= - 1 3) y = x ^ 2 - 2x + 1 при x >= 1 4) y = x ^ 2 - 4x + 4 при x <= 2
Привет! Давай вместе решим эту задачу.
Для каждой функции нам нужно найти обратную функцию, а затем построить их графики на одной координатной плоскости. Перейдем к решению шаг за шагом.
1) \( y = x^2 + 1 \) при \( x \geq 0 \)
Чтобы найти обратную функцию, нам нужно выразить \( x \) через \( y \):
\[ y = x^2 + 1 \implies x^2 = y - 1 \implies x = \sqrt{y - 1} \]
Так как \( x \geq 0 \), то получаем:
\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y - 1} \]
2) \( y = (x + 1)^2 \) при \( x \leq -1 \)
Находим обратную функцию следующим образом:
\[ y = (x + 1)^2 \implies x + 1 = \pm \sqrt{y} \]
Так как \( x \leq -1 \), то:
\[ x + 1 = -\sqrt{y} \implies x = -1 - \sqrt{y} \]
Получаем:
\[ f^{-1}(y) = -1 - \sqrt{y} \]
3) \( y = x^2 - 2x + 1 \) при \( x \geq 1 \)
Перепишем функцию:
\[ y = (x - 1)^2 \]
Находим обратную функцию:
\[ y = (x - 1)^2 \implies x - 1 = \pm \sqrt{y} \]
Так как \( x \geq 1 \), то:
\[ x - 1 = \sqrt{y} \implies x = 1 + \sqrt{y} \]
Получаем:
\[ f^{-1}(y) = 1 + \sqrt{y} \]
4) \( y = x^2 - 4x + 4 \) при \( x \leq 2 \)
Перепишем функцию:
\[ y = (x - 2)^2 \]
Находим обратную функцию:
\[ y = (x - 2)^2 \implies x - 2 = \pm \sqrt{y} \]
Так как \( x \leq 2 \), то:
\[ x - 2 = -\sqrt{y} \implies x = 2 - \sqrt{y} \]
Получаем:
\[ f^{-1}(y) = 2 - \sqrt{y} \]
Теперь нужно построить графики этих функций и их обратных функций на одной координатной плоскости. Если тебе нужна помощь с построением графиков, дай знать!
Успехов!
