Найдите сторону АВ треугольника АВС, если АС=√6 см, <А =120, <С=45

Чтобы найти сторону \( AB \) треугольника \( ABC \), имея \( AC = \sqrt{6} \) см, угол \( A = 120^\circ \) и угол \( C = 45^\circ \), можно воспользоваться теорией синусов.

Сначала найдем угол \( B \): \[ B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ. \]

Теперь у нас есть все стороны и углы треугольника. Для нахождения стороны \( AB \) можно использовать закон синусов, который гласит:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \] где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).

Обозначим:

• \( a = BC \)
• \( b = AC = \sqrt{6} \) см
• \( c = AB \)

Согласно закону синусов, для стороны \( AB \) можно записать:

\[ \frac{c}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}. \]

Подставляем известные значения: \[ \frac{c}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 15^\circ}. \]

Значения синусов:

• \( \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)

Подставим их в уравнение:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}. \]

Теперь, упрощая правую часть:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} \cdot 4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}. \]

Теперь выражаем \( c \):

\[ c = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{18}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}. \]

Таким образом, сторона \( AB \) будет равна:

\[ AB = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}. \]

Чтобы упростить это выражение, можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное \( \sqrt{6} + \sqrt{2} \):

\[ AB = \frac{6\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{6\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{6\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}. \]

Итак, сторона \( AB \) равна \( \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \) см.