Дано:ABCD- четырёхугольник K,L,M,N- середины сторон AB,BC,CD,DA. Доказать:KLMN- параллелограмм.

Давайте докажем, что четырехугольник KLMN является параллелограммом.

1. Обозначим вершины четырехугольника ABCD, где K, L, M, N – средние точки сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

2. По определению средней линии в треугольнике, отрезок, соединяющий средние точки двух сторон, равен половине длины третьей стороны и параллелен ей.

3. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:

   • В треугольнике ABC средняя линия KL соединяет середины AB и BC, поэтому, согласно свойству средних линий: \[ KL \parallel AC \quad \text{и} \quad KL = \frac{1}{2} \cdot AC. \]
   • В треугольнике CDA средняя линия MN соединяет середины CD и DA: \[ MN \parallel AC \quad \text{и} \quad MN = \frac{1}{2} \cdot AC. \]

4. Теперь мы можем увидеть, что отрезки KL и MN параллельны друг другу (так как оба параллельны AC) и равны по длине.

5. Далее, рассмотрим отрезки KM и LN:

   • Отрезок KM соединяет середины AB и CD, а LN соединяет середины BC и DA:
     • В треугольнике ABD: \[ KM \parallel BD \quad \text{и} \quad KM = \frac{1}{2} \cdot BD. \]
     • В треугольнике BCD: \[ LN \parallel BD \quad \text{и} \quad LN = \frac{1}{2} \cdot BD. \]

6. Таким образом, отрезки KM и LN также параллельны друг другу и равны по длине.

7. Мы имеем две пары параллельных и равных сторон (KL || MN и KM || LN).

8. Следовательно, по определению параллелограмма, четырехугольник KLMN является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что KLMN – параллелограмм.