Закон распределения случайной величины Х задан следующей таблицей: X 1 2 4 5 P 0,1 0,4 0,4 0,1 Найдите ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Давайте найдем математическое ожидание (M(X)), дисперсию (D(X)) и среднее квадратичное отклонение (σ) случайной величины X, используя заданную таблицу.
Сначала запишем данные из таблицы:
| X | 1 | 2 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| P | 0.1 | 0.4 | 0.4 | 0.1 |
- Математическое ожидание (M(X)):
Формула для математического ожидания: \[ M(X) = \sum (X_i \cdot P_i) \] Подставим данные: \[ M(X) = 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 \] \[ = 0.1 + 0.8 + 1.6 + 0.5 = 3.0 \]
- Дисперсия (D(X)):
Для дисперсии используем формулу: \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \] Сначала найдем \(M(X^2)\): \[ M(X^2) = \sum (X_i^2 \cdot P_i) \] Подставим данные: \[ M(X^2) = 1^2 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.4 + 4^2 \cdot 0.4 + 5^2 \cdot 0.1 \] \[ = 0.1 + 0.4 \cdot 4 + 0.4 \cdot 16 + 0.1 \cdot 25 \] \[ = 0.1 + 1.6 + 6.4 + 2.5 = 10.6 \]
Теперь подставим в формулу дисперсии: \[ D(X) = 10.6 - (3.0)^2 = 10.6 - 9 = 1.6 \]
- Среднее квадратичное отклонение (σ):
Среднее квадратичное отклонение вычисляется как корень из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1.6} \approx 1.2649 \]
Таким образом, мы получили:
- Математическое ожидание \(M(X) = 3.0\)
- Дисперсия \(D(X) = 1.6\)
- Среднее квадратичное отклонение \(\sigma \approx 1.2649\)
