Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3π;π]: 1) cos x=1/2; 2) сos x= √2/2; 3) cos x= -√2/2; 4) cos x= -1/2.

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и найдем все корни, принадлежащие отрезку \([-3\pi; \pi]\).

1. \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Косинус равен \(\frac{1}{2}\) в следующих точках: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \] где \(k\) — целое число.

Теперь подставим значения \(k\), чтобы получить корни на отрезке \([-3\pi; \pi]\):

• Для \(k = -2\): \[ x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{\pi - 12\pi}{3} = \frac{-11\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{-\pi - 12\pi}{3} = \frac{-13\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

• Для \(k = -1\): \[ x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi - 6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi - 6\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

• Для \(k = 0\): \[ x = \frac{\pi}{3} \quad \text{(входит)} \] \[ x = -\frac{\pi}{3} \quad \text{(входит)} \]

• Для \(k = 1\): \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi + 6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{-\pi + 6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

Таким образом, корни: \( x = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3} \).

2. \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Косинус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) в следующих точках: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Анализируем диапазон отрезка:

• Для \(k = -2\): \[ x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = \frac{\pi - 16\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{\pi - 16\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

• Для \(k = -1\): \[ x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

• Для \(k = 0\): \[ x = \frac{\pi}{4} \quad \text{(входит)} \] \[ x = -\frac{\pi}{4} \quad \text{(входит)} \]

• Для \(k = 1\): \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi + 8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{-\pi + 8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

Корни: \( x = \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{4} \).

3. \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Косинус равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) в точках: \[ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \]

Анализ корней:

• Для \(k = -2\): \[ x = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = \frac{3\pi - 16\pi}{4} = -\frac{13\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = \frac{5\pi}{4} - 4\pi = \frac{5\pi - 16\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

• Для \(k = -1\): \[ x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{3\pi - 8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi - 8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \quad (\text{входит}) \]

• Для \(k = 0\): \[ x = \frac{3\pi}{4} \quad \text{(входит)} \] \[ x = \frac{5\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

• Для \(k = 1\): \[ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi + 8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi + 8\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

Таким образом, корни: \( x = \frac{3\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4} \).

4. \( \cos x = -\frac{1}{2} \)

Косинус равен \(-\frac{1}{2}\) в следующих точках: \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \]

Анализируем корни:

• Для \(k = -2\): \[ x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = \frac{2\pi - 12\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = \frac{4\pi}{3} - 4\pi = \frac{4\pi - 12\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

• Для \(k = -1\): \[ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \quad (\text{входит}) \] \[ x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = \frac{4\pi - 6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} \quad (\text{входит}) \]

• Для \(k = 0\): \[ x = \frac{2\pi}{3} \quad \text{(входит)} \] \[ x = \frac{4\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

• Для \(k = 1\): \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi + 6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \] \[ x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi + 6\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} \quad (\text{не входит в отрезок}) \]

Таким образом, корни: \( x = \frac{2\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3} \).

Результаты:

1. \( \cos x = \frac{1}{2} : \quad x = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3} \)
2. \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} : \quad x = \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{4} \)
3. \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} : \quad x = \frac{3\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4} \)
4. \( \cos x = -\frac{1}{2} : \quad x = \frac{2\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3} \)

Если есть дополнительные вопросы или задачи, с удовольствием помогу!