Задача на фото 👇🏻 (на онлайн-компиляторе Python)

Привет! Давай решим данную задачу вместе.

Итак, у нас есть система линейных алгебраических уравнений с трёхдиагональной матрицей. Нам нужно решить её методом прогонки. Давай разберёмся с входными и выходными данными и приступим к решению.

Входные данные: Матрица коэффициентов A и правая часть F: \[ A = \begin{bmatrix} a_1 & c_1 & 0 & \ldots & 0 \\ b_2 & a_2 & c_2 & \ldots & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & c_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & b_n & a_n \\ \end{bmatrix} \] \[ F = \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \end{bmatrix} \]

Выходные данные: Вектор неизвестных x = (x1, x2, ..., xn)

Алгоритм решения:

1. Прямой ход прогонки:
   • Вычисление прогоночных коэффициентов alpha и beta.
2. Обратный ход прогонки:
   • Вычисление решения x.

Пример на Python:

# Исходные данные для примера:
A = [4, 5, 4, 5, 3]     # диагональный элементы a_i
B = [0, 2, 3, 2, 3]     # нижняя диагональ b_i (b_1 = 0)
C = [2, 2, 3, 3, 0]     # верхняя диагональ c_i (c_n = 0)
F = [16, 25, 24, 25, 12]  # правая часть уравнения F_i

n = len(F)

# Прямой ход прогонки
alpha = [0] * n
beta = [0] * n

# Начальные условия
alpha[0] = -C[0] / A[0]
beta[0] = F[0] / A[0]

for i in range(1, n):
    denominator = A[i] + B[i] * alpha[i - 1]
    alpha[i] = -C[i] / denominator
    beta[i] = (F[i] - B[i] * beta[i - 1]) / denominator

# Обратный ход прогонки
x = [0] * n
x[-1] = beta[-1]

for i in range(n - 2, -1, -1):
    x[i] = alpha[i] * x[i + 1] + beta[i]

print("Решение x:", x)

Объяснение шагов:

1. Прямой ход:

   • Для каждого i (от 1 до n), вычисляем alpha[i] и beta[i], используя предыдущие значения alpha и beta.
   • Начальные условия: alpha[0] и beta[0] вычисляем отдельно, так как они зависят только от первых элементов массивов A, B, C и F.

2. Обратный ход:

   • Начинаем с последнего элемента массива x и вычисляем его значение через beta[-1].
   • Проходимся с конца массива к началу, вычисляя каждый элемент x[i] на основе alpha[i] и x[i+1], вплоть до x[0].

Такой подход использует метод прогонки для решения СЛАУ с трёхдиагональной матрицей. Надеюсь, это поможет тебе с решением задачи! Если что-то непонятно, спрашивай.