В параллелограмме ABCD рис 5.9 биссектрисы углов B и D пересекают диагональ AC в точках E и F которые средины соответственно с вершинами параллелограмма B и D докажите что четырех угольник BEDF является параллелограммом

Чтобы доказать, что четырёхугольник BEDF является параллелограммом, нужно показать, что две его противоположные стороны равны и параллельны.

1. Дано: Параллелограмм ABCD, где E и F – точки пересечения биссектрис углов B и D с диагональю AC.

2. Свойства биссектрис в параллелограмме: Биссектрисы углов B и D делят углы пополам. Поскольку ABCD – параллелограмм, углы B и D равны (∠B = ∠D).

3. Сумма углов: Углы B и D являются внутренними углами параллелограмма, и поскольку сумма углов на одной стороне прямой 180°, то ∠ABE + ∠DBE = 180° (где A и D принадлежат прямой линии AC).

4. Отрезки BE и DF: Поскольку E и F – середины отрезков AB и CD соответственно (так как они находятся на биссектрисах), то отрезки BE и DF равны, то есть BE = DF.

5. Параллельные стороны: Следовательно, стороны BE и DF равны.

6. Стороны BD и EF: Далее, в параллелограмме ABCD стороны AB и CD равны (AB = CD), а угол BDF равен углу BED. Это значит, что также BD || EF, поскольку они являются соответственными углами при пересечении двух параллельных линий (AB и CD).

Таким образом, у нас есть две пары сторон (BE || DF и BD || EF), которые равны и параллельны, что и доказывает, что четырёхугольник BEDF является параллелограммом.

Итак, BEDF – параллелограммм, так как у него есть две пары равных и параллельных сторон.