На ювелирную фабрику поступил для обработки (огранки) драгоценный камень весом 20 карат. Уже при первичной обработке камень раскололся на две части, в результате чего их суммарная…

Для решения задачи используем информацию о том, что стоимость драгоценных камней пропорциональна квадрату их веса.

Обозначим вес большей части камня как \( x \) карат. Тогда, соответственно, вес меньшей части будет \( 20 - x \) карат.

Согласно условию, общая стоимость двух частей камня после раскола стала на 48% меньше, чем стоимость целого камня. Если духовная стоимость целого камня пропорциональна квадрату его веса, то цена целого камня можно выразить как \( k \cdot 20^2 \), где \( k \) — некая постоянная.

Стоимость частей камня после раскола будет равна \( k \cdot x^2 + k \cdot (20 - x)^2 \).

Из условия задачи мы знаем, что:

\[ k \cdot x^2 + k \cdot (20 - x)^2 = (1 - 0.48) \cdot (k \cdot 20^2) \]

Это можно упростить:

\[ x^2 + (20 - x)^2 = 0.52 \cdot 20^2 \]

Теперь нужно выразить \( (20 - x)^2 \):

\[ (20 - x)^2 = 400 - 40x + x^2 \]

Теперь подставим это выражение в уравнение:

\[ x^2 + 400 - 40x + x^2 = 0.52 \cdot 400 \]

Соберем все слагаемые:

\[ 2x^2 - 40x + 400 = 208 \]

Упростим уравнение:

\[ 2x^2 - 40x + 192 = 0 \]

Разделим всё на 2:

\[ x^2 - 20x + 96 = 0 \]

Теперь воспользуемся формулой дискриминанта для решения квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16 \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm 4}{2} \]

Это даёт два решения:

\[ x_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{16}{2} = 8 \]

Таким образом, веса частей камня: 12 и 8 карат. Из них большая часть расколовшегося камня имеет вес 12 каратов.

Ответ: 12 карат.