Консервный комбинат расфасовывает свою продукцию в цилиндрические жестяные банки различных размеров, которые заказывает на заводе «Жестеупаковка». Банка № 1 имеет внутренний диаметр 72 мм и высоту 84 мм. Банка № 2 имеет размеры 80 мм и 90 мм соответственно. Так как технология изготовления банок стандартизирована, их стоимость определяется только расходом материала (жести), т.е. пропорциональна площади поверхности банки. Чтобы добиться максимальной прибыли, комбинат предпочитает заказывать банки, в которых отношение объёма к стоимости является наибольшим. Какую из двух банок комбинат закажет на заводе? В ответе укажите отношение объёма к площади поверхности для наиболее выгодной банки.

Question 1

Задача Задача №1644386

А

Аноним

27 сентября 2024 05:02 · публичный вопрос

А

Аноним 27 сентября 2024 05:02

Консервный комбинат расфасовывает свою продукцию в цилиндрические жестяные банки различных размеров, которые заказывает на заводе «Жестеупаковка». Банка № 1 имеет внутренний диаметр 72 мм и высоту 84 мм. Банка № 2 имеет размеры 80 мм и 90 мм соответственно. Так как технология изготовления банок стандартизирована, их стоимость определяется только расходом материала (жести), т.е. пропорциональна площади поверхности банки. Чтобы добиться максимальной прибыли, комбинат предпочитает заказывать банки, в которых отношение объёма к стоимости является наибольшим. Какую из двух банок комбинат закажет на заводе? В ответе укажите отношение объёма к площади поверхности для наиболее выгодной банки.

Answer

Давайте рассчитаем объём и площадь поверхности каждой из банок, чтобы определить, какую из них выгоднее заказывать.

Для цилиндрической банки используются следующие формулы:

Объём (V) цилиндра:
\[ V = \pi r^2 h \]
где \( r \) — радиус, \( h \) — высота.
Площадь поверхности (S) цилиндра:
\[ S = 2\pi r(h + r) \]

Теперь рассчитаем величины для каждой банки.

Для банки № 1:

Внутренний диаметр = 72 мм ⇒ радиус \( r_1 = \frac{72}{2} = 36 \) мм
Высота \( h_1 = 84 \) мм

Объём банки № 1:
\[ V_1 = \pi (36^2) (84) = \pi \cdot 1296 \cdot 84 \approx 108534.25 \, \text{мм}^3 \]

Площадь поверхности банки № 1:
\[ S_1 = 2\pi (36)(84 + 36) = 2\pi (36)(120) = 8640\pi \approx 27168.94 \, \text{мм}^2 \]

Отношение объёма к площади поверхности для банки № 1:
\[ \frac{V_1}{S_1} \approx \frac{108534.25}{27168.94} \approx 3.99 \]

Для банки № 2:

Внутренний диаметр = 80 мм ⇒ радиус \( r_2 = \frac{80}{2} = 40 \) мм
Высота \( h_2 = 90 \) мм

Объём банки № 2:
\[ V_2 = \pi (40^2) (90) = \pi \cdot 1600 \cdot 90 \approx 50265.48 \, \text{мм}^3 \]

Площадь поверхности банки № 2:
\[ S_2 = 2\pi (40)(90 + 40) = 2\pi (40)(130) = 10400\pi \approx 32672.69 \, \text{мм}^2 \]

Отношение объёма к площади поверхности для банки № 2:
\[ \frac{V_2}{S_2} \approx \frac{50265.48}{32672.69} \approx 1.54 \]

Сравнение:

Для банки № 1: \(\frac{V_1}{S_1} \approx 3.99\)
Для банки № 2: \(\frac{V_2}{S_2} \approx 1.54\)

Таким образом, банкa № 1 имеет большее отношение объёма к стоимости.

Ответ: Комбинат закажет банку № 1, и отношение объёма к площади поверхности для наиболее выгодной банки составляет примерно 3.99.

Question 2

Консервный комбинат расфасовывает свою продукцию в цилиндрические жестяные банки различных размеров, которые заказывает на заводе «Жестеупаковка». Банка № 1 имеет внутренний диаметр 72 мм и высоту 84 мм. Банка № 2 имеет размеры 80 мм и 90 мм соответственно. Так как технология изготовления банок стандартизирована, их стоимость определяется только расходом материала (жести), т.е. пропорциональна площади поверхности банки. Чтобы добиться максимальной прибыли, комбинат предпочитает заказывать банки, в которых отношение объёма к стоимости является наибольшим. Какую из двух банок комбинат закажет на заводе? В ответе укажите отношение объёма к площади поверхности для наиболее выгодной банки.

Answer

Давайте рассчитаем объём и площадь поверхности каждой из банок, чтобы определить, какую из них выгоднее заказывать. Для цилиндрической банки используются следующие формулы: 1. **Объём (V)** цилиндра: \[ V = \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус, \( h \) — высота. 2. **Площадь поверхности (S)** цилиндра: \[ S = 2\pi r(h + r) \] Теперь рассчитаем величины для каждой банки. ### Для банки № 1: - Внутренний диаметр = 72 мм ⇒ радиус \( r_1 = \frac{72}{2} = 36 \) мм - Высота \( h_1 = 84 \) мм **Объём банки № 1:** \[ V_1 = \pi (36^2) (84) = \pi \cdot 1296 \cdot 84 \approx 108534.25 \, \text{мм}^3 \] **Площадь поверхности банки № 1:** \[ S_1 = 2\pi (36)(84 + 36) = 2\pi (36)(120) = 8640\pi \approx 27168.94 \, \text{мм}^2 \] **Отношение объёма к площади поверхности для банки № 1:** \[ \frac{V_1}{S_1} \approx \frac{108534.25}{27168.94} \approx 3.99 \] ### Для банки № 2: - Внутренний диаметр = 80 мм ⇒ радиус \( r_2 = \frac{80}{2} = 40 \) мм - Высота \( h_2 = 90 \) мм **Объём банки № 2:** \[ V_2 = \pi (40^2) (90) = \pi \cdot 1600 \cdot 90 \approx 50265.48 \, \text{мм}^3 \] **Площадь поверхности банки № 2:** \[ S_2 = 2\pi (40)(90 + 40) = 2\pi (40)(130) = 10400\pi \approx 32672.69 \, \text{мм}^2 \] **Отношение объёма к площади поверхности для банки № 2:** \[ \frac{V_2}{S_2} \approx \frac{50265.48}{32672.69} \approx 1.54 \] ### Сравнение: - Для банки № 1: \(\frac{V_1}{S_1} \approx 3.99\) - Для банки № 2: \(\frac{V_2}{S_2} \approx 1.54\) Таким образом, банкa № 1 имеет большее отношение объёма к стоимости. **Ответ:** Комбинат закажет банку № 1, и отношение объёма к площади поверхности для наиболее выгодной банки составляет примерно **3.99**.