1) |x - 1| - 2|x - 2| + 3|x - 3| = 4
Чтобы решить уравнение \(|x - 1| - 2|x - 2| + 3|x - 3| = 4\), давайте рассмотрим различные случаи в зависимости от значений \(x\). Мы будем рассматривать участки на числовой прямой, на которых каждая из абсолютных величин сохраняет своё значение.
Точки, в которых модуль меняет своё поведение, — это 1, 2 и 3. Поэтому проверим следующие промежутки:
Случай 1: \(x < 1\)
- Здесь \(|x - 1| = 1 - x\)
- \(|x - 2| = 2 - x\)
- \(|x - 3| = 3 - x\)
Подставим в уравнение:
\[ (1 - x) - 2(2 - x) + 3(3 - x) = 4 \]
Упростим выражение:
\[ 1 - x - 4 + 2x + 9 - 3x = 4 \] \[ -x + 6 = 4 \] \[ -x = -2 \implies x = 2 \]
Этот корень не подходит для данного случая, так как \(x < 1\).
Случай 2: \(1 \leq x < 2\)
- Здесь \(|x - 1| = x - 1\)
- \(|x - 2| = 2 - x\)
- \(|x - 3| = 3 - x\)
Подставляем:
\[ (x - 1) - 2(2 - x) + 3(3 - x) = 4 \]
Упрощаем:
\[ x - 1 - 4 + 2x + 9 - 3x = 4 \] \[ -1 = 4 \]
Здесь тоже нет решения.
Случай 3: \(2 \leq x < 3\)
- Теперь: \(|x - 1| = x - 1\)
- \(|x - 2| = x - 2\)
- \(|x - 3| = 3 - x\)
Подставляем:
\[ (x - 1) - 2(x - 2) + 3(3 - x) = 4 \]
Упрощаем:
\[ x - 1 - 2x + 4 + 9 - 3x = 4 \] \[ -4x + 12 = 4 \implies -4x = -8 \implies x = 2 \]
Это удовлетворяет условию \(2 \leq x < 3\).
Случай 4: \(x \geq 3\)
- Теперь \(|x - 1| = x - 1\)
- \(|x - 2| = x - 2\)
- \(|x - 3| = x - 3\)
Подставим:
\[ (x - 1) - 2(x - 2) + 3(x - 3) = 4 \]
Упрощаем:
\[ x - 1 - 2x + 4 + 3x - 9 = 4 \] \[ 2x - 6 = 4 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \]
Это решение также удовлетворяет условию \(x \geq 3\).
Теперь у нас есть два решения: \(x = 2\) и \(x = 5\).
В конечном итоге, решение уравнения \(|x - 1| - 2|x - 2| + 3|x - 3| = 4\) - это \(x = 2\) и \(x = 5\).
