y=x3+8x2+16x+7
Привет! Давай разберёмся с задачей.
Нам нужно найти наибольшее значение функции \( y = x^3 + 8x^2 + 16x + 7 \) на заданном отрезке \([-1; 3]\).
Для этого выполним следующие шаги:
- Найдём производную функции \( y = x^3 + 8x^2 + 16x + 7 \).
- Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
- Вычислим значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка.
- Сравним найденные значения, выберем наибольшее.
Шаг 1: Найдём производную функции
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 8x^2 + 16x + 7) = 3x^2 + 16x + 16 \]
Шаг 2: Найдём критические точки
Приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 + 16x + 16 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 192}}{6} = \frac{-16 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-16 \pm 8}{6} \]
Два корня: \[ x_1 = \frac{-16 + 8}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \quad (не принадлежит отрезку [-1; 3]) \] \[ x_2 = \frac{-16 - 8}{6} = -\frac{24}{6} = -4 \quad (не принадлежит отрезку [-1; 3]) \]
Так, критических точек на отрезке \([-1; 3]\) нет. Тогда проверяем значения функции на концах отрезка.
Шаг 3: Вычислим значения функции на концах отрезка
Для \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 + 8(-1)^2 + 16(-1) + 7 = -1 + 8 - 16 + 7 = -2 \]
Для \( x = 3 \): \[ y(3) = (3)^3 + 8(3)^2 + 16(3) + 7 = 27 + 72 + 48 + 7 = 154 \]
Шаг 4: Сравним значения
Наибольшее значение функции на отрезке \([-1; 3]\): \[ y = 154 \]
Если у тебя возникнут дополнительные вопросы или нужно будет что-то ещё объяснить, дай знать!
