Радиус-вектор материальной точки в начальный момент времени (r)= 2i-4j+k, скорость зависит от вре- мени по закону (t)=2ti-(4-1)j+k. Найти величину тан- генциального ускорения материальной точки в момент t = 3 c.

Question 1

Задача Задача №1645072

А

Аноним

27 сентября 2024 06:13 · публичный вопрос

А

Аноним 27 сентября 2024 06:13

Радиус-вектор материальной точки в начальный момент времени (r)= 2i-4j+k, скорость зависит от вре- мени по закону (t)=2ti-(4-1)j+k. Найти величину тан- генциального ускорения материальной точки в момент t = 3 c.

Answer

Чтобы найти величину тангенциального ускорения материальной точки, сначала необходимо определить скорость и ускорение точки в заданный момент времени.

Дано:

Радиус-вектор в начальный момент времени: \(\mathbf{r} = 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + \mathbf{k}\)
Скорость \(\mathbf{v}(t) = 2t\mathbf{i} - (4 - t)\mathbf{j} + \mathbf{k}\)

Сначала найдем скорость в момент времени \(t = 3\) секунды:

\[ \mathbf{v}(3) = 2(3)\mathbf{i} - (4 - 3)\mathbf{j} + \mathbf{k} = 6\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + \mathbf{k} \]

Теперь найдем ускорение, которое будет представлять собой производную скорости по времени:

\[ \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} \]

Сначала найдем производную от каждой компоненты скорости:

\[ \mathbf{v}(t) = 2t\mathbf{i} - (4 - t)\mathbf{j} + \mathbf{k} \]

Первая компонента: \(\frac{d}{dt}(2t) = 2\)
Вторая компонента: \(\frac{d}{dt}(-(4 - t)) = 1\)
Третья компонента: \(\frac{d}{dt}(1) = 0\)

Таким образом, ускорение в любой момент времени равно:

\[ \mathbf{a}(t) = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} \]

Теперь можно найти тангенциальное ускорение \(\mathbf{a}_t\), которое направлено вдоль вектора скорости. Оно определяется как проекция полного ускорения на единичный вектор скорости:

Сначала найдем длину вектора скорости \(\mathbf{v}(3)\):

\[ |\mathbf{v}(3)| = \sqrt{(6)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{36 + 1 + 1} = \sqrt{38} \]

Теперь найдем единичный вектор скорости:

\[ \hat{\mathbf{v}}(3) = \frac{\mathbf{v}(3)}{|\mathbf{v}(3)|} = \frac{6\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{38}} \]

Теперь находим тангенциальное ускорение:

\[ a_t = \mathbf{a} \cdot \hat{\mathbf{v}}(3) = (2\mathbf{i} + 1\mathbf{j}) \cdot \frac{6\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{38}} \]

Рассчитаем скалярное произведение:

\[ = \frac{1}{\sqrt{38}} \left( 2 \cdot 6 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \right) = \frac{1}{\sqrt{38}}(12 - 1) = \frac{11}{\sqrt{38}} \]

Таким образом, величина тангенциального ускорения в момент \(t = 3\) секунды равна \(\frac{11}{\sqrt{38}}\).

Question 2

Радиус-вектор материальной точки в начальный момент времени (r)= 2i-4j+k, скорость зависит от вре- мени по закону (t)=2ti-(4-1)j+k. Найти величину тан- генциального ускорения материальной точки в момент t = 3 c.

Answer

Чтобы найти величину тангенциального ускорения материальной точки, сначала необходимо определить скорость и ускорение точки в заданный момент времени. Дано: - Радиус-вектор в начальный момент времени: \(\mathbf{r} = 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + \mathbf{k}\) - Скорость \(\mathbf{v}(t) = 2t\mathbf{i} - (4 - t)\mathbf{j} + \mathbf{k}\) Сначала найдем скорость в момент времени \(t = 3\) секунды: \[ \mathbf{v}(3) = 2(3)\mathbf{i} - (4 - 3)\mathbf{j} + \mathbf{k} = 6\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + \mathbf{k} \] Теперь найдем ускорение, которое будет представлять собой производную скорости по времени: \[ \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} \] Сначала найдем производную от каждой компоненты скорости: \[ \mathbf{v}(t) = 2t\mathbf{i} - (4 - t)\mathbf{j} + \mathbf{k} \] - Первая компонента: \(\frac{d}{dt}(2t) = 2\) - Вторая компонента: \(\frac{d}{dt}(-(4 - t)) = 1\) - Третья компонента: \(\frac{d}{dt}(1) = 0\) Таким образом, ускорение в любой момент времени равно: \[ \mathbf{a}(t) = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} \] Теперь можно найти тангенциальное ускорение \(\mathbf{a}_t\), которое направлено вдоль вектора скорости. Оно определяется как проекция полного ускорения на единичный вектор скорости: Сначала найдем длину вектора скорости \(\mathbf{v}(3)\): \[ |\mathbf{v}(3)| = \sqrt{(6)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{36 + 1 + 1} = \sqrt{38} \] Теперь найдем единичный вектор скорости: \[ \hat{\mathbf{v}}(3) = \frac{\mathbf{v}(3)}{|\mathbf{v}(3)|} = \frac{6\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{38}} \] Теперь находим тангенциальное ускорение: \[ a_t = \mathbf{a} \cdot \hat{\mathbf{v}}(3) = (2\mathbf{i} + 1\mathbf{j}) \cdot \frac{6\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{38}} \] Рассчитаем скалярное произведение: \[ = \frac{1}{\sqrt{38}} \left( 2 \cdot 6 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \right) = \frac{1}{\sqrt{38}}(12 - 1) = \frac{11}{\sqrt{38}} \] Таким образом, величина тангенциального ускорения в момент \(t = 3\) секунды равна \(\frac{11}{\sqrt{38}}\).