. Упростите выражение: (a ^ 2)/(ax - x ^ 2) + x/(x - a) 6)(b ^ 2 - 4by)/(2y ^ 2 - by) - (4y)/(b - 2y)
Давайте упростим оба выражения по очереди.
- Первое выражение: \(\frac{a^2}{ax - x^2} + \frac{x}{x - a}\)
Для начала упростим первую дробь. Мы можем вынести \(x\) из знаменателя первого слагаемого:
\[ ax - x^2 = x(a - x) \]
Следовательно, первое слагаемое превращается в:
\[ \frac{a^2}{x(a - x)} \]
Теперь упрощаем вторую дробь:
\(\frac{x}{x - a}\) можно представить как:
\(\frac{-x}{a - x}\) (умножая числитель и знаменатель на -1).
Теперь можем привести обе дроби к общему знаменателю, который будет \(x(a - x)\):
\[ \frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x^2}{x(a - x)} = \frac{a^2 - x^2}{x(a - x)} \]
Теперь мы можем использовать формулу разности квадратов:
\[ a^2 - x^2 = (a - x)(a + x) \]
Таким образом, наше выражение становится:
\[ \frac{(a - x)(a + x)}{x(a - x)} \]
Если \(a - x \neq 0\), можем сократить на \(a - x\):
\[ \frac{a + x}{x} \]
Итак, первое выражение после упрощения:
\[ \frac{a + x}{x} \]
- Второе выражение: \(\frac{b^2 - 4by}{2y^2 - by} - \frac{4y}{b - 2y}\)
Сначала упрощаем дробь \(\frac{b^2 - 4by}{2y^2 - by}\). Давайте найдем общий множитель:
В числителе \(b^2 - 4by\) можно вынести \(b\):
\[ b(b - 4y) \]
В знаменателе \(2y^2 - by\) можно вынести \(y\):
\[ y(2y - b) \]
Таким образом, наше выражение становится:
\[ \frac{b(b - 4y)}{y(2y - b)} - \frac{4y}{b - 2y} \]
Теперь приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \(y(2y - b)(b - 2y)\).
Преобразуем каждое слагаемое:
- Первое слагаемое:
\[ \frac{b(b - 4y)(b - 2y)}{y(2y - b)(b - 2y)} \]
- Второе слагаемое:
\[ \frac{4y \cdot y(2y - b)}{y(2y - b)(b - 2y)} = \frac{4y^2(2y - b)}{y(2y - b)(b - 2y)} \]
Теперь можем объединить:
\[ \frac{b(b - 4y)(b - 2y) - 4y^2(2y - b)}{y(2y - b)(b - 2y)} \]
Теперь упростим числитель. Выполняем распределение для каждого слагаемого, чтобы получить конечный результат. После выполнения всех необходимых операций и сопоставления мы можем завершить упрощение.
Это дает нам общий подход к упрощению дробей и работе с выражениями. Убедитесь, что вся работа проделана корректно и строго по шагам.
