данный равнобедренный прямоугольник треугольник ABC с прямым углом С,катетом=12см и квадратом CDEF,такой что 2 его стороны лежал на катетах а вершина Е на гипотенузе…

Давайте разберемся с данной задачей поэтапно.

У нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C и катетами длиной 12 см. Это значит, что стороны AC и BC равны и составляют 12 см. Теперь мы можем найти длину гипотенузы AB с помощью теоремы Пифагора:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \, \text{см}. \]

Теперь рассмотрим квадрат CDEF, у которого две стороны лежат на катетах треугольника, а вершина E находится на гипотенузе AB. Пусть длина стороны квадрата равна x см.

Так как квадраты CDEF и треугольник ABC равнобедренные, можно заметить, что:

1. В точки C и D квадрат касается катетов AC и BC.
2. Поэтому в треугольнике ABC, если провести высоту из точки E к основанию AC, то эта высота будет равна длине стороны квадрата, то есть x см.

Чтобы найти x, нужно воспользоваться свойствами подобия. Высота, проведенная из точки E на основание AC, будет равна:

\[ \frac{x}{12} = \frac{12-x}{12\sqrt{2}}. \]

Решив это уравнение, мы получаем:

\[ x \cdot 12\sqrt{2} = 12 \cdot (12 - x) \] \[ 12x\sqrt{2} = 144 - 12x \] \[ 12x\sqrt{2} + 12x = 144 \] \[ 12x(\sqrt{2} + 1) = 144 \] \[ x = \frac{144}{12(\sqrt{2} + 1)} = \frac{12}{\sqrt{2} + 1}. \]

Умножив числитель и знаменатель на \((\sqrt{2} - 1)\), получаем:

\[ x = \frac{12(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 12(\sqrt{2} - 1) \, \text{см}. \]

Теперь, чтобы найти периметр квадрата CDEF, мы используем формулу для периметра:

\[ P = 4 \cdot a, \]

где a — длина стороны квадрата. Таким образом:

\[ P = 4x = 4 \cdot 12(\sqrt{2} - 1) = 48(\sqrt{2} - 1) \, \text{см}. \]

Итак, периметр квадрата CDEF составляет \( 48(\sqrt{2} - 1) \) см.