a^4b^2 + a^3b^3/8(b-3a) : a + b/15a - 5b

Для решения выражения \( \frac{a^4b^2 + \frac{a^3b^3}{8(b - 3a)}}{a + \frac{b}{15a} - 5b} \) мы можем сначала упростить числитель и знаменатель по отдельности.

Упрощение числителя:

Числитель выглядит как: \( a^4b^2 + \frac{a^3b^3}{8(b - 3a)} \).

Чтобы объединить дробь, можно привести к общему знаменателю: \( 8(b - 3a) \).

Тогда: \[ a^4b^2 = \frac{8a^4b^2(b - 3a)}{8(b - 3a)}. \]

Теперь числитель можно записать так: \[ \frac{8a^4b^2(b - 3a) + a^3b^3}{8(b - 3a)}. \]

Теперь давайте упростим \( 8a^4b^2(b - 3a) + a^3b^3 \): \[ 8a^4b^3 - 24a^5b^2 + a^3b^3 = a^3b^2(8b - 24a + 1). \] Таким образом числитель будет: \[ \frac{a^3b^2(8b - 24a + 1)}{8(b - 3a)}. \]

Упрощение знаменателя:

Теперь рассмотрим знаменатель \( a + \frac{b}{15a} - 5b \). Приведем к общему знаменателю: \[ a - 5b + \frac{b}{15a} = \frac{15a^2 - 75ab + b}{15a} = \frac{15a^2 - 75ab + b}{15a}. \]

Теперь мы имеем: \[ \frac{a^3b^2(8b - 24a + 1)}{8(b - 3a)} \div \frac{15a^2 - 75ab + b}{15a}. \]

Перепишем это как умножение на обратное: \[ = \frac{a^3b^2(8b - 24a + 1)}{8(b - 3a)} \cdot \frac{15a}{15a^2 - 75ab + b}. \]

Объединив это, мы получаем итоговое выражение: \[ \frac{15a^4b^2(8b - 24a + 1)}{8(b - 3a)(15a^2 - 75ab + b)}. \]

Если у Вас есть дополнительные вопросы или Вы хотели бы обсудить отдельные части этого процесса, не стесняйтесь спрашивать!