Реши уравнение. 2 tg x 1 − tg 2 x = 1 3 1−tg 2 x 2tgx = 3 1 Запиши в поле ответа значение корня в градусах, принадлежащее отрезку [ 17 0 ∘ ; 20 0 ∘ ] . [170 ∘ ;200 ∘ ].
Для решения уравнения
\[ \frac{2 \tan{x}}{1 - \tan{2x}} = 3 \]
начнем с преобразования. Умножим обе стороны на \(1 - \tan{2x}\):
\[ 2 \tan{x} = 3(1 - \tan{2x}) \]
Раскроем скобки:
\[ 2 \tan{x} = 3 - 3 \tan{2x} \]
Теперь вспомним, что \(\tan{2x}\) можно выразить через \(\tan{x}\) по формуле:
\[ \tan{2x} = \frac{2 \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \]
Подставим это выражение в уравнение:
\[ 2 \tan{x} = 3 - 3 \cdot \frac{2 \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \]
Теперь умножим обе стороны на \(1 - \tan^2{x}\):
\[ 2 \tan{x} (1 - \tan^2{x}) = 3 (1 - \tan^2{x}) - 6 \tan{x} \]
Раскроем скобки:
\[ 2 \tan{x} - 2 \tan^3{x} = 3 - 3 \tan^2{x} - 6 \tan{x} \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 2 \tan{x} + 6 \tan{x} - 3 + 3 \tan^2{x} + 2 \tan^3{x} = 0 \]
Упрощаем:
\[ 2 \tan^3{x} + 3 \tan^2{x} + 8 \tan{x} - 3 = 0 \]
Теперь обозначим \(\tan{x} = t\). Это уравнение принимает вид:
\[ 2t^3 + 3t^2 + 8t - 3 = 0 \]
Для решения этого кубического уравнения, можно использовать численные методы или графические средства. После нахождения корней, нам нужно проверить, какие из них находятся в пределах \([170^\circ; 200^\circ]\).
Поскольку \(t = \tan{x}\), найдём значения \(x\) из корней уравнения для \(x = \arctan(t)\) и переведем их в градусы.
После проверки корней, можем легко определить, какое значение \(x\) находится в интервале от \(170^\circ\) до \(200^\circ\).
При решении будет найден корень, соответствующий диапазону.
Рекомендую использовать графическая калькуляция или специализированные математические программы для нахождения корней кубического уравнения, чтобы ускорить процесс и найти именно те значения, которые вам нужны.
