в треугольнике abc угол c прямой ac 3 bc 4 найдите длину вектора ca - ba
Для решения задачи, давайте разберем информацию, которая дана:
- У нас есть треугольник ABC, в котором угол C прямой. Это значит, что угол C равен 90 градусам.
- Длина стороны AC равна 3 единицам, а длина стороны BC равна 4 единицам.
Так как треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом в C, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны AB (гипотенузы):
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставляем известные значения:
\[ AB^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ AB^2 = 9 + 16 \] \[ AB^2 = 25 \] \[ AB = 5 \]
Теперь, для нахождения длины векторов CA и BA, мы можем представить их в виде координат. Пусть точка C находится в начале координат (0, 0), тогда:
- Точка A будет находиться на оси Y на расстоянии 3 от C: A(0, 3).
- Точка B будет находиться на оси X на расстоянии 4 от C: B(4, 0).
Теперь найдем вектор CA и BA:
Вектор CA:
\[ CA = A - C = (0, 3) - (0, 0) = (0, 3) \]
Вектор BA:
\[ BA = A - B = (0, 3) - (4, 0) = (0 - 4, 3 - 0) = (-4, 3) \]
Теперь, чтобы найти длину векторов CA и BA, мы используем формулу длины вектора:
Для CA:
\[ |CA| = \sqrt{(0)^2 + (3)^2} = \sqrt{9} = 3 \]
Для BA:
\[ |BA| = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Теперь, чтобы найти длину вектора CA - BA:
\[ CA - BA = (0, 3) - (-4, 3) = (0 + 4, 3 - 3) = (4, 0) \]
Длина вектора CA - BA:
\[ |CA - BA| = \sqrt{(4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16} = 4 \]
Таким образом, длина вектора \( CA - BA \) составляет 4.
