Найдите производную функции y=5/x-7√x+sin2x-e^3x

Чтобы найти производную функции \( y = \frac{5}{x} - 7\sqrt{x} + \sin(2x) - e^{3x} \), мы применим правила дифференцирования для каждого слагаемого отдельно.

1. Производная от \( \frac{5}{x} \): Мы можем переписать это выражение как \( 5x^{-1} \). Применяя правило степени, имеем: \[ \frac{d}{dx}\left(5x^{-1}\right) = 5 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{5}{x^2}. \]

2. Производная от \( -7\sqrt{x} \): Сначала перепишем \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \): \[ \frac{d}{dx}\left(-7x^{1/2}\right) = -7 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{7}{2\sqrt{x}}. \]

3. Производная от \( \sin(2x) \): Здесь применяем цепное правило: \[ \frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x). \]

4. Производная от \( -e^{3x} \): Здесь также используем правило производной экспоненты: \[ \frac{d}{dx}\left(-e^{3x}\right) = -e^{3x} \cdot 3 = -3e^{3x}. \]

Теперь объединим все найденные производные:

\[ y' = -\frac{5}{x^2} - \frac{7}{2\sqrt{x}} + 2\cos(2x) - 3e^{3x}. \]

Таким образом, производная функции \( y \) равна: \[ y' = -\frac{5}{x^2} - \frac{7}{2\sqrt{x}} + 2\cos(2x) - 3e^{3x}. \]