Рус № 1 ЗАДАЧА 1 Старик и старуха сеют репу и пшеницу для продажи. Каждая из культур даёт сразу 1 вершок и 1 корешок. Всю продукцию обязательно нужно или продать, или утилизировать. На рынке цена 1 вершка пшеницы равна 5 копейкам, а 1 корешка репы – 10 копейкам. Корешки пшеницы и вершки репы никому не нужны и должны быть обязательно утилизированы, чтобы не занимать место под посадки. Старик знает способ утилизировать 1 корешок пшеницы за 2 копейки, а 1 вершок репы – за 5 копеек. На поле можно вырастить 𝑥 реп и 𝑦 колосков пшеницы при условии, что 𝑦 = 9 − 𝑥2 , 𝑥 и 𝑦 выражаются только целыми неотрицательными числами. Какую прибыль получат старик и старуха, продав оптимальное количество репы и пшеницы?
Для решения данной задачи давайте рассмотрим шаги по нахождению максимальной прибыли, используя условия, указанные в задаче.
Находим возможные комбинации для x и y: Условие задачи нам говорит, что количество колосков пшеницы \(y\) можно выразить как \(y = 9 - x^2\). Поскольку \(x\) и \(y\) должны быть целыми неотрицательными числами, это означает, что \(x^2\) не должно превышать 9. Таким образом, возможные целые значения \(x\) могут быть от 0 до 3 (поскольку \(3^2 = 9\)).
Результаты:
- Если \(x = 0\), то \(y = 9 - 0^2 = 9\)
- Если \(x = 1\), то \(y = 9 - 1^2 = 8\)
- Если \(x = 2\), то \(y = 9 - 2^2 = 5\)
- Если \(x = 3\), то \(y = 9 - 3^2 = 0\)
Записываем все возможные комбинации:
- \( (x, y) = (0, 9) \)
- \( (x, y) = (1, 8) \)
- \( (x, y) = (2, 5) \)
- \( (x, y) = (3, 0) \)
Вычисляем прибыль от продажи: Теперь давайте сосчитаем прибыль от продажи репы и пшеницы для каждой комбинации.
Прибыль от продажи:
- 1 вершок пшеницы стоит 5 копеек, значит \(y\) колосков принесет \(5y\) копеек.
- 1 корешок репы стоит 10 копеек, значит \(x\) корешков принесет \(10x\) копеек.
Однако, нам нужно учесть утилизацию ненужных частей:
- Уцилитировать 1 корешок пшеницы стоит 2 копейки, \(y\) корешков потребует \(2y\) копеек.
- Уцилитировать 1 вершок репы стоит 5 копеек, \(x\) вершинков потребует \(5x\) копеек.
Таким образом, формула для общей прибыли \(P\) будет следующей: \[ P = (5y + 10x) - (2y + 5x) \] Упростим эту формулу: \[ P = 3y + 5x \]
Подставляем значения x и y: Посчитаем для каждой комбинации \((x, y)\):
- Для \( (0, 9) \): \[ P = 3 \cdot 9 + 5 \cdot 0 = 27 \]
- Для \( (1, 8) \): \[ P = 3 \cdot 8 + 5 \cdot 1 = 24 + 5 = 29 \]
- Для \( (2, 5) \): \[ P = 3 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = 15 + 10 = 25 \]
- Для \( (3, 0) \): \[ P = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 3 = 0 + 15 = 15 \]
Находим наибольшую прибыль: Теперь мы можем определить наибольшую прибыль из всех полученных значений:
- 27
- 29
- 25
- 15
Максимальная прибыль составляет 29 копеек при посадке 1 корешка репы и 8 колосков пшеницы.
Таким образом, старик и старуха получат оптимальную прибыль в 29 копеек.
