Найдите все решения уравнения х²-3ху + 2y² = 8 в целых числах. В ответе укажите количество решений.

Question 1

Задача Задача №1647693

А

Аноним

27 сентября 2024 10:45 · публичный вопрос

А

Аноним 27 сентября 2024 10:45

Найдите все решения уравнения х²-3ху + 2y² = 8 в целых числах. В ответе укажите количество решений.

Answer

Чтобы найти все целые решения уравнения \( x^2 - 3xy + 2y^2 = 8 \), мы можем использовать метод подбора целых чисел для \( y \) и затем решать для \( x \).

Начнем с приведения уравнения к более удобному виду:

Перепишем уравнение: \( x^2 - 3xy + 2y^2 - 8 = 0 \).
Это уравнение является квадратным относительно \( x \): \( x^2 - (3y)x + (2y^2 - 8) = 0 \).

Для нахождения целых решений \( x \) при заданном \( y \) мы можем использовать дискриминант. Дискриминант \( D \) должен быть неотрицательным для существования действительных (и целых) решений. Он вычисляется как:

\[ D = b^2 - 4ac = (3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2y^2 - 8) = 9y^2 - 8y^2 + 32 = y^2 + 32. \]

Так как \( y^2 + 32 \) всегда положительно для всех целых \( y \), у нас всегда есть два действительных корня для любого целого \( y \).

Теперь решим уравнение для \( x \):

\[ x = \frac{3y \pm \sqrt{y^2 + 32}}{2}. \]

Чтобы \( x \) было целым, выражение \( 3y \pm \sqrt{y^2 + 32} \) должно быть четным. Это значит, что \( \sqrt{y^2 + 32} \) должно иметь тот же четный/нечетный статус, что и \( 3y \).

Теперь рассмотрим разные значения \( y \):

Для \( y = 0 \): \[ x = \frac{0 \pm \sqrt{32}}{2} = \pm 4. \]
Для \( y = 1 \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \quad (\text{нецелое решение}). \]
Для \( y = 2 \): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36}}{2} = (0, 6). \]
Для \( y = 3 \): \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2} \quad (\text{нецелое решение}). \]
Для \( y = 4 \): \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} = (0, 12). \]
Для \( y = -1 \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2} \quad (\text{нецелое решение}). \]
Для \( y = -2 \): \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = (-4, -2). \]
Для \( y = -3 \): \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{41}}{2} \quad (\text{нецелое решение}). \]
Для \( y = -4 \): \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{48}}{2} = (-12, 0). \]

Соберем все целые решения:

\( (4, 0) \)
\( (-4, 0) \)
\( (0, 6) \)
\( (0, 12) \)
\( (-4, -2) \)
\( (0, -12) \)

Теперь подсчитаем количество уникальных пар \( (x, y) \):

\( (4, 0) \)
\( (-4, 0) \)
\( (0, 6) \)
\( (0, 12) \)
\( (-4, -2) \)
\( (0, -12) \)
\( (0, -12) \) - повтор.

Таким образом, все уникальные решения:

\( (4, 0) \)
\( (-4, 0) \)
\( (0, 6) \)
\( (0, 12) \)
\( (-4, -2) \)

Всего 5 уникальных целых решений.

Ответ: 5 решений.

Question 2

Найдите все решения уравнения х²-3ху + 2y² = 8 в целых числах. В ответе укажите количество решений.

Answer

Чтобы найти все целые решения уравнения \( x^2 - 3xy + 2y^2 = 8 \), мы можем использовать метод подбора целых чисел для \( y \) и затем решать для \( x \). Начнем с приведения уравнения к более удобному виду: 1. Перепишем уравнение: \( x^2 - 3xy + 2y^2 - 8 = 0 \). 2. Это уравнение является квадратным относительно \( x \): \( x^2 - (3y)x + (2y^2 - 8) = 0 \). Для нахождения целых решений \( x \) при заданном \( y \) мы можем использовать дискриминант. Дискриминант \( D \) должен быть неотрицательным для существования действительных (и целых) решений. Он вычисляется как: \[ D = b^2 - 4ac = (3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2y^2 - 8) = 9y^2 - 8y^2 + 32 = y^2 + 32. \] Так как \( y^2 + 32 \) всегда положительно для всех целых \( y \), у нас всегда есть два действительных корня для любого целого \( y \). Теперь решим уравнение для \( x \): \[ x = \frac{3y \pm \sqrt{y^2 + 32}}{2}. \] Чтобы \( x \) было целым, выражение \( 3y \pm \sqrt{y^2 + 32} \) должно быть четным. Это значит, что \( \sqrt{y^2 + 32} \) должно иметь тот же четный/нечетный статус, что и \( 3y \). Теперь рассмотрим разные значения \( y \): 1. Для \( y = 0 \): \[ x = \frac{0 \pm \sqrt{32}}{2} = \pm 4. \] 2. Для \( y = 1 \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \quad (\text{нецелое решение}). \] 3. Для \( y = 2 \): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36}}{2} = (0, 6). \] 4. Для \( y = 3 \): \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{2} \quad (\text{нецелое решение}). \] 5. Для \( y = 4 \): \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} = (0, 12). \] 6. Для \( y = -1 \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2} \quad (\text{нецелое решение}). \] 7. Для \( y = -2 \): \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = (-4, -2). \] 8. Для \( y = -3 \): \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{41}}{2} \quad (\text{нецелое решение}). \] 9. Для \( y = -4 \): \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{48}}{2} = (-12, 0). \] Соберем все целые решения: - \( (4, 0) \) - \( (-4, 0) \) - \( (0, 6) \) - \( (0, 12) \) - \( (-4, -2) \) - \( (0, -12) \) Теперь подсчитаем количество уникальных пар \( (x, y) \): - \( (4, 0) \) - \( (-4, 0) \) - \( (0, 6) \) - \( (0, 12) \) - \( (-4, -2) \) - \( (0, -12) \) - \( (0, -12) \) - повтор. Таким образом, все уникальные решения: 1. \( (4, 0) \) 2. \( (-4, 0) \) 3. \( (0, 6) \) 4. \( (0, 12) \) 5. \( (-4, -2) \) Всего 5 уникальных целых решений. Ответ: 5 решений.