В треугольнике ABC угол C = 90° tgA=2√6 . Найдите cos A

В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы можем использовать отношение для тангенса угла A, чтобы найти косинус этого угла. Напомним, что тангенс угла A определён как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

\[ \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]

В данном случае дано, что \(\tan A = 2\sqrt{6}\). Обозначим противолежащий катет как \(a\) и прилежащий катет как \(b\). Тогда можно записать:

\[ \frac{a}{b} = 2\sqrt{6} \]

Это значит, что \(a = 2\sqrt{6}b\).

Теперь, чтобы найти косинус угла A, воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} \]

Для нахождения гипотенузы \(c\), используем теорему Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Подставим значение \(a\):

\[ c = \sqrt{(2\sqrt{6}b)^2 + b^2} = \sqrt{24b^2 + b^2} = \sqrt{25b^2} = 5b \]

Теперь можем найти косинус угла A:

\[ \cos A = \frac{b}{c} = \frac{b}{5b} = \frac{1}{5} \]

Таким образом, \(\cos A = \frac{1}{5}\).