. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 биатлонистов и 4 велосипедиста. Вероятности выполнить квалификационную норму соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Спортсмен, выбранный…

Для решения этой задачи воспользуемся теорией вероятностей, в частности формулой Байеса.

Обозначим события:

• \( A_1 \): спортсмен — лыжник.
• \( A_2 \): спортсмен — биатлонист.
• \( A_3 \): спортсмен — велосипедист.
• \( B \): спортсмен выполнил квалификационную норму.

Имеем следующие данные:

• Количество лыжников: \( n_1 = 20 \), вероятность выполнения нормы \( P(B|A_1) = 0,9 \).
• Количество биатлонистов: \( n_2 = 6 \), вероятность выполнения нормы \( P(B|A_2) = 0,8 \).
• Количество велосипедистов: \( n_3 = 4 \), вероятность выполнения нормы \( P(B|A_3) = 0,7 \).

Общее количество спортсменов:

\[ N = n_1 + n_2 + n_3 = 20 + 6 + 4 = 30 \]

Теперь найдем априорные вероятности выбора каждого типа спортсмена:

\[ P(A_1) = \frac{n_1}{N} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \] \[ P(A_2) = \frac{n_2}{N} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \] \[ P(A_3) = \frac{n_3}{N} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \]

Теперь необходимо найти полную вероятность события \( B \), т.е. вероятность того, что спортсмен выполнил норму:

\[ P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) \]

Подставим известные значения:

\[ P(B) = (0,9 \cdot \frac{2}{3}) + (0,8 \cdot \frac{1}{5}) + (0,7 \cdot \frac{2}{15}) \]

Вычислим каждое слагаемое:

\[ P(B|A_1)P(A_1) = 0,9 \cdot \frac{2}{3} = 0,6 \] \[ P(B|A_2)P(A_2) = 0,8 \cdot \frac{1}{5} = 0,16 \] \[ P(B|A_3)P(A_3) = 0,7 \cdot \frac{2}{15} = \frac{1,4}{15} \approx 0,0933 \]

Теперь сложим все эти значения:

\[ P(B) = 0,6 + 0,16 + 0,0933 \approx 0,8533 \]

Теперь применим формулу Байеса для нахождения искомой вероятности \( P(A_3|B) \) — вероятности того, что спортсмен является велосипедистом, если известно, что он выполнил норму:

\[ P(A_3|B) = \frac{P(B|A_3)P(A_3)}{P(B)} \]

Подставим известные значения:

\[ P(A_3|B) = \frac{0,7 \cdot \frac{2}{15}}{P(B)} = \frac{0,0933}{0,8533} \approx 0,109 \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный спортсмен, который выполнил норму, является велосипедистом, составляет примерно 0,109, или 10,9%.