. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 биатлонистов и 4 велосипедиста. Вероятности выполнить квалификационную норму соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Спортсмен, выбранный…

Чтобы найти вероятность того, что спортсмен, который выполнил квалификационную норму, является велосипедистом, можно воспользоваться формулой Байеса. Давайте сначала определим некоторые значения:

1. Общее количество спортсменов: \[ N = 20 \, (\text{лыжники}) + 6 \, (\text{биатлонисты}) + 4 \, (\text{велосипедисты}) = 30. \]

2. Вероятности выполнения квалификационной нормы:

   • Для лыжников: \( P(A) = 0,9 \)
   • Для биатлонистов: \( P(B) = 0,8 \)
   • Для велосипедистов: \( P(C) = 0,7 \)

3. Обозначим события:

   • \( A \): спортсмен лыжник,
   • \( B \): спортсмен биатлонист,
   • \( C \): спортсмен велосипедист.

Теперь найдем вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен выполнил норму, то есть общую вероятность \( P(N) \):

\[ P(N) = P(A) \cdot P(A \mid N) + P(B) \cdot P(B \mid N) + P(C) \cdot P(C \mid N), \]

где \( P(A \mid N) = \frac{20}{30}, P(B \mid N) = \frac{6}{30}, P(C \mid N) = \frac{4}{30} \) — это вероятность выбрать спортсмена именно этого типа.

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(N) = \left(\frac{20}{30} \cdot 0,9\right) + \left(\frac{6}{30} \cdot 0,8\right) + \left(\frac{4}{30} \cdot 0,7\right). \]

Рассчитаем каждую часть:

• Для лыжников: \[ \frac{20}{30} \cdot 0,9 = \frac{18}{30} = 0,6. \]

• Для биатлонистов: \[ \frac{6}{30} \cdot 0,8 = \frac{4.8}{30}. \]

• Для велосипедистов: \[ \frac{4}{30} \cdot 0,7 = \frac{2.8}{30}. \]

Теперь сложим все части: \[ P(N) = 0,6 + \frac{4.8}{30} + \frac{2.8}{30} = 0,6 + \frac{7.6}{30} = 0,6 + 0,2533 \approx 0,8533. \]

Теперь вычислим искомую вероятность того, что спортсмен — велосипедист, если он выполнил норму, по формуле Байеса: \[ P(C \mid N) = \frac{P(N \mid C) \cdot P(C)}{P(N)}, \]

где \( P(N \mid C) = 0,7 \) — вероятность выполнения квалификационной нормы велосипедистом.

Таким образом, \[ P(C) = \frac{4}{30}. \] Подставим: \[ P(C \mid N) = \frac{0,7 \cdot \frac{4}{30}}{0,8533}. \]

Теперь сделаем вычисления:

1. Найдем числитель: \[ 0,7 \cdot \frac{4}{30} = \frac{2.8}{30}. \]

2. Теперь делим числитель на знаменатель: \[ P(C \mid N) = \frac{\frac{2.8}{30}}{0,8533} \approx \frac{0,0933}{0,8533} \approx 0,109. \]

Таким образом, вероятность того, что спортсмен, выполнивший норму, является велосипедистом, примерно равна \( 0,109 \) или \( 10,9\% \).