Решите уравнения а) 3(x+4)²=10x+32 б) 31x+77=15(x+1)²

Конечно! Давайте решим данные уравнения поэтапно.

а) Уравнение: \( 3(x+4)² = 10x + 32 \)

1. Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Мы знаем, что \((x+4)^2 = x^2 + 8x + 16\). Подставим это: \[ 3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32 \]

2. Упростим левую часть: \[ 3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32 \]

3. Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ 3x^2 + 24x + 48 - 10x - 32 = 0 \] Получается: \[ 3x^2 + 14x + 16 = 0 \]

4. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4 \]

5. Так как дискриминант положителен, есть два решения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \]

Итак, решения для уравнения \( 3(x+4)² = 10x + 32 \) это \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = -\frac{8}{3} \).

б) Уравнение: \( 31x + 77 = 15(x+1)² \)

1. Сначала раскроем правую часть уравнения: \[ 15(x+1)^2 = 15(x^2 + 2x + 1) = 15x^2 + 30x + 15 \] Получаем: \[ 31x + 77 = 15x^2 + 30x + 15 \]

2. Переносим все члены на одну сторону: \[ 0 = 15x^2 + 30x + 15 - 31x - 77 \] Упрощаем: \[ 0 = 15x^2 - x - 62 \]

3. Решим это квадратное уравнение, аналогично, используя дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-62) = 1 + 3720 = 3721 \]

4. Так как дискриминант положителен, есть два решения: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{3721}}{30} = \frac{1 + 61}{30} = \frac{62}{30} = \frac{31}{15} \] \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{3721}}{30} = \frac{1 - 61}{30} = \frac{-60}{30} = -2 \]

Таким образом, решения для уравнения \( 31x + 77 = 15(x+1)² \) это \( x_1 = \frac{31}{15} \) и \( x_2 = -2 \).

Если у вас есть еще вопросы или нужны уточнения по другим темам, не стесняйтесь задавать!