На плоскости отметили несколько точек. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек провели прямую. Всего получилось 36 прямых. Сколько отметили точек?

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для подсчета количества прямых, проведенных через все пары точек на плоскости. Если у нас есть \( n \) точек, то количество прямых, проведенных через эти точки, можно выразить через биномиальный коэффициент:

\[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \]

Мы знаем, что всего получено 36 прямых, поэтому можем записать уравнение:

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 36 \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ n(n-1) = 72 \]

Теперь найдем целые числа \( n \), которые удовлетворяют этому уравнению. Мы можем переписать его как:

\[ n^2 - n - 72 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2} \]

Таким образом, находим два корня:

\[ n_1 = \frac{18}{2} = 9 \] \[ n_2 = \frac{-16}{2} = -8 \]

Поскольку количество точек не может быть отрицательным, принимаем только положительное значение \( n = 9 \).

Таким образом, количество отмеченных точек равно 9.