5. Даны числа z1= - 3 +5i, z2= 4 -7i, Вычислите: a) сумму чисел z1 и z2; б) разность чисел z1 и z2; b) произведение чисел z1 и Z2.

Рассмотрим комплексные числа \( z_1 = -3 + 5i \) и \( z_2 = 4 - 7i \).

a) Сумма чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

Для нахождения суммы комплексных чисел складываем их действительные и мнимые части отдельно:

\[ z_1 + z_2 = (-3 + 4) + (5 - 7)i = 1 - 2i \]

Таким образом, сумма \( z_1 \) и \( z_2 \) равна \( 1 - 2i \).

б) Разность чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

Чтобы найти разность, вычтем мнимую и действительную части второго числа из первого:

\[ z_1 - z_2 = (-3 - 4) + (5 + 7)i = -7 + 12i \]

Таким образом, разность \( z_1 \) и \( z_2 \) равна \( -7 + 12i \).

в) Произведение чисел \( z_1 \) и \( z_2 \):

Для нахождения произведения комплексных чисел используем формулу:

\[ z_1 \cdot z_2 = (-3 + 5i)(4 - 7i) \]

Применяем распределительное свойство (FOIL):

\[ = -3 \cdot 4 + (-3) \cdot (-7i) + (5i) \cdot 4 + (5i) \cdot (-7i) \] \[ = -12 + 21i + 20i - 35i^2 \]

Поскольку \( i^2 = -1 \), то:

\[ -35i^2 = 35 \]

Теперь объединяем все части:

\[ = -12 + 35 + (21i + 20i) = 23 + 41i \]

Таким образом, произведение \( z_1 \) и \( z_2 \) равно \( 23 + 41i \).

В итоге:

• Сумма: \( 1 - 2i \)
• Разность: \( -7 + 12i \)
• Произведение: \( 23 + 41i \)