|2x-4|-|3x-x|=2x

Давайте разберемся с уравнением |2x - 4| - |3x - x| = 2x.

Первым делом упростим выражение в модуле: |3x - x| можно записать как |2x|. Таким образом уравнение принимает вид:

|2x - 4| - |2x| = 2x.

Теперь рассмотрим разные случаи, в зависимости от значений x, чтобы определить, как будут выглядеть модули.

1. Случай 1: \(x < 2\)

   • Тогда \(2x - 4 < 0\) и \(2x < 0\), следовательно: \(|2x - 4| = 4 - 2x\) и \(|2x| = -2x\). Подставляем в уравнение: \(4 - 2x + 2x = 2x\) Значит \(4 = 2x\), отсюда \(x = 2\). Но так как \(x < 2\), это решение не подходит.

2. Случай 2: \(x = 2\)

   • Подставляя \(x = 2\) в уравнение, получаем: \(|2(2) - 4| - |2(2)| = 2(2)\) Это упрощается до: \(0 - 4 = 4\), что неверно.

3. Случай 3: \(2 < x < 0\)

   • Здесь \(2x - 4 < 0\) и \(2x > 0\): \(|2x - 4| = 4 - 2x\) и \(|2x| = 2x\). Подставляем: \(4 - 2x - 2x = 2x\) Получается \(4 - 4x = 2x\), отсюда \(4 = 6x\) и \(x = \frac{2}{3}\). Это значение подходит, так как \(x < 2\).

4. Случай 4: \(x \geq 2\)

   • В этом случае оба выражения положительны: \(|2x - 4| = 2x - 4\) и \(|2x| = 2x\). Уравнение: \(2x - 4 - 2x = 2x\), отсюда \(-4 = 2x\) и \(x = -2\). Это значение также не подходит, так как не работает для \(x \geq 2\).

Теперь можем проверить наши области. Мы нашли, что решение \(x = \frac{2}{3}\) подходит.

Таким образом, окончательный ответ: \(x = \frac{2}{3}\).