|2x-4|-|3-x|-2x=0
Решим уравнение \( |2x - 4| - |3 - x| - 2x = 0 \).
Первым делом, выделим модули \( |2x - 4| \) и \( |3 - x| \). Модули изменяются в зависимости от значений \( x \). Разделим задачу на несколько случаев в зависимости от того, где меняются знаки внутри модулей.
Случай 1: \( x < 2 \)
Здесь \( |2x - 4| = 4 - 2x \) и \( |3 - x| = 3 - x \).
Уравнение становится: \[ (4 - 2x) - (3 - x) - 2x = 0 \] Упрощаем: \[ 4 - 2x - 3 + x - 2x = 0 \] \[ 1 - 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3} \] Поскольку \( \frac{1}{3} < 2 \), это решение действительно.
Случай 2: \( 2 \leq x < 3 \)
Здесь \( |2x - 4| = 2x - 4 \) и \( |3 - x| = 3 - x \).
Уравнение становится: \[ (2x - 4) - (3 - x) - 2x = 0 \] Упрощаем: \[ 2x - 4 - 3 + x - 2x = 0 \] \[ -7 + x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 7 \] Однако \( 7 \notin [2, 3) \), значит, нет решений в этом интервале.
Случай 3: \( x \geq 3 \)
Здесь \( |2x - 4| = 2x - 4 \) и \( |3 - x| = x - 3 \).
Уравнение становится: \[ (2x - 4) - (x - 3) - 2x = 0 \] Упрощаем: \[ 2x - 4 - x + 3 - 2x = 0 \] \[ -1 = 0 \] Это уравнение не имеет решений.
Теперь подводим итог. У нас есть одно действительное решение из первого случая: \[ x = \frac{1}{3} \]
Таким образом, окончательное решение уравнения \( |2x - 4| - |3 - x| - 2x = 0 \) является: \[ x = \frac{1}{3} \]
