Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6 даёт в остатке 2 и цифры в записи которого чётные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Чтобы найти трёхзначное натуральное число, которое при делении на 4, 5 и 6 даёт в остатке 2, и при этом все цифры числа чётные, давайте сначала разберёмся с условиями.

1. Поскольку остаток при делении на 4, 5 и 6 равен 2, можно выразить это условие в виде:
   • \( x \equiv 2 \mod 4 \)
   • \( x \equiv 2 \mod 5 \)
   • \( x \equiv 2 \mod 6 \)

Это означает, что рассматриваемое число меньше на 2, чем кратное наибольшему общему кратному (НОК) чисел 4, 5 и 6.

2. Найдем НОК(4, 5, 6):
   • НОК(4, 5) = 20
   • НОК(20, 6) = 60 То есть, НОК(4, 5, 6) = 60.

Следовательно, искомое число может быть представлено как: \[ x = 60k + 2, \] где \( k \) — натуральное число.

3. Теперь нам нужно, чтобы \( x \) было трёхзначным, то есть: \[ 100 \leq 60k + 2 < 1000. \]

Решим неравенства:

• Для нижней границы: \[ 60k + 2 \geq 100 \] \[ 60k \geq 98 \] \[ k \geq \frac{98}{60} \approx 1.633 \] Следовательно, минимальное целое значение \( k \) — это 2.

• Для верхней границы: \[ 60k + 2 < 1000 \] \[ 60k < 998 \] \[ k < \frac{998}{60} \approx 16.63 \] Значит, максимальное целое значение \( k \) — это 16.

Таким образом, \( k \) принимает значения от 2 до 16.

4. Подставим значения \( k \): Для \( k = 2 \): \( x = 60 \cdot 2 + 2 = 122 \)
   Для \( k = 3 \): \( x = 60 \cdot 3 + 2 = 182 \)
   Для \( k = 4 \): \( x = 60 \cdot 4 + 2 = 242 \)
   Для \( k = 5 \): \( x = 60 \cdot 5 + 2 = 302 \)
   Для \( k = 6 \): \( x = 60 \cdot 6 + 2 = 362 \)
   Для \( k = 7 \): \( x = 60 \cdot 7 + 2 = 422 \)
   Для \( k = 8 \): \( x = 60 \cdot 8 + 2 = 482 \)
   Для \( k = 9 \): \( x = 60 \cdot 9 + 2 = 542 \)
   Для \( k = 10 \): \( x = 60 \cdot 10 + 2 = 602 \)
   Для \( k = 11 \): \( x = 60 \cdot 11 + 2 = 662 \)
   Для \( k = 12 \): \( x = 60 \cdot 12 + 2 = 722 \)
   Для \( k = 13 \): \( x = 60 \cdot 13 + 2 = 782 \)
   Для \( k = 14 \): \( x = 60 \cdot 14 + 2 = 842 \)
   Для \( k = 15 \): \( x = 60 \cdot 15 + 2 = 902 \)
   Для \( k = 16 \): \( x = 60 \cdot 16 + 2 = 962 \)

5. Из всех этих чисел только 242, 302, 362, 422, 482, 602, 662, 782, 842, 902 и 962 имеют все чётные цифры. Число 242 — это одно из примерных значений, которое отвечает всем условиям задачи.

Таким образом, одним из искомых чисел является 242.